Carl Gauss

Carl Friedrich Gauss: el príncipe de las matemáticas

Carl Friedrich GaussJohann Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick, Alemania, y murió el 23 de febrero de 1855 en Göttingen, también en el país teutón. Sus estudios e investigaciones pueden localizarse tanto en matemáticas como en física y astronomía. Posiblemente la teoría de números sea la rama de las matemáticas en la que la influencia ejercida por Gauss haya sido mayor (recordemos sus propias palabras sobre ella). Pero ni muchos menos la cosa se queda ahí. Las aportaciones de Gauss a la geometría diferencial, al análisis matemático, a la estadística o al a geodesia son realmente notables.

Podemos decir que Gauss fue un niño prodigio en lo que se refiere a las matemáticas en general y al cálculo en particular. A los 3 años de edad corrigió a su padre una operación que estaba realizando relacionada con pagos de salarios a los trabajadores que tenía a su cargo. Pero puede que la anécdota más conocida de su infancia sea la ocurrida cuando contaba con 7 años de edad (y que ya comentamos en el primer post de la historia de Gaussianos). Estando en el colegio, en uno de esos típicos momentos de barullo entre niños de esa edad su profesor J.G Bütner castigó a toda la clase con sumar todos los números naturales desde el 1 hasta el 100. Casi de forma instantánea Gauss tenía la respuesta correcta: 5050 (los detalles los podéis encontrar en el post enlazado hace unas líneas). La cuestión es que este hecho, junto con muchos otros, contribuyeron a que los profesores de Gauss vieran en él algo especial, una especie de don para las matemáticas, y que hablaran con sus padres para permitirle recibir clases complementarias de matemáticas después de las clases ordinarias.

Quizás esas son las dos anécdotas más conocidas de la infancia de nuestro personaje, pero no son las únicas. Poco después de cumplir 10 años Gauss ya había descubierto dos métodos para calcular raíces cuadradas de números de 50 cifras decimales y cuentan que en esa época encontró pequeños errores en tablas logarítmicas que cayeron en sus manos. Sencillamente impresionante.

En 1788 ingresó en el Gymnasium local (escuela secundaria) y aprendió principalmente cultura clásica. Su formación matemática continuó a través de instrucciones particulares y mediante la lectura de libros, entre los que se encuentran obras de arte como los Principia de Newton o el Ars Conjectandi de Bernoulli. Tal fue la fama que adquirió en el Gymnasium que a los 15 años el duque de su ciudad natal apoyó a Gauss económicamente para que siguiera estudiando en el Collegium Carolinum de Brunswick.

Al comienzo de esta etapa de sus estudios se puede decir que Gauss ya poseía suficientes conocimientos como para haberse graduado. En 1795 dejó el centro habiendo hecho tantas matemáticas como para terminar una carrera. En esta época comenzaron sus propuestas de aproximación de la función \pi(n) (función que cuenta los números primos menores o iguales a n). Comenzó proponiendo:

\pi(n) \approx \cfrac{n}{Ln(n)}

para después ajustar más con:

\pi(n)=\displaystyle{\int_2^n \cfrac{dx}{Ln(x)}}

Su gran capacidad para el cálculo le permitió comprobar dicha fórmula hasta n=3000000.

Después del Collegium eligió la Universidad de Göttingen para sus estudios, posiblemente debido a que ésta poseía una gran biblioteca matemática. Revisando los registros de dicha biblioteca sorprende el hecho de que Gauss retirara más libros de Humanidades que de Matemáticas. Pero este hecho no supuso, ni muchísimo menos, que se retirara de esta ciencia. Más bien todo lo contrario.

HeptadecágonoSu primer gran resultado fue la demostración de que se puede construir un heptadecágono (polígono regular de 17 lados) con regla y compás en el sentido clásico de este tipo de construcciones. A partir de este hecho demostró un resultado más general sobre construcciones con regla y compás que recuerdo aquí aunque en Gaussianos ya lo conocemos:

Un polígono regular de n lados es construible con regla y compás (en el sentido clásico de estas construcciones) si n es igual al producto de una potencia de 2 por un cierto número de primos de Fermat distintos, es decir:

n=2^s \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_k, siendo p_k primos de Fermat distintos.

Por tanto, para s=0 y k=1 se tiene que todo polígono regular cuyo número de lados es un primo de Fermat es construible con regla y compás. Como 17 es uno de ellos, el heptadecágono

...