Ciencia de Materiales UGTO INTRODUCCION

M´etodos Matem´aticos II

Dr. David Del´epine 1

Instituto de F´isica de la Universidad de Guanajuato

Loma del Bosque, N 103

Col. Lomas del Campestre

CP-37150 L´eon, Gto

Agosto 23, 2004

1email: delepine@fisica.ugto.mx; tel: ext. 8424

2

Contenido

1 Introducci´on 7

2 Nociones de geometr´ia diferencial y vectorial. 9

2.1 Propiedades tensoriales del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Gradiente, rotacional y divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Identidades importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 C´alcul´o en coordenadas no-cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.2 Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.3 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.4 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Ecuaciones diferenciales parciales lineales de la f´isica cl´asica 21

3.1 La cuerda vibrante y sus generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Generalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Ecuaci´on del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Ecuaci´on de Laplace y sus generalizaciones . . . . . . . . . . . . 24

4 Series e integrales de Fourier 27

4.1 Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.1 Motivaciones: principio de superposici´on . . . . . . . . . . 27

4.2 Aproximaci´on en media cuadr´atica sobre un dominio acotado . . 28

4.2.1 Forma equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.2 Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Convergencia puntual de la serie de Fourier . . . . . . . . . . . . 32

4.4 Integrales de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.1 La transformaci´on de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.2 Teorema de convoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.3 Significaci´on intuitiva de la transformaci´on de Fourier: la

”funci´on” ± de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4.4 Lema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

4

5 Clasificaci´on de las ecuaciones y condiciones de unicidad de las

soluciones 43

5.1 Clasificaci´on de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Condici´on de unicidad de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.1 Ecuaciones hiperb´olicas, condiciones de Cauchy . . . . . . 46

5.2.2 ecuaciones parabolicas: condiciones de frontera . . . . . . 50

5.2.3 ecuaci´on de Laplace, funciones arm´onicas . . . . . . . . . 54

5.3 Propiedades de las funciones arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3.1 Primera propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3.2 Segunda propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.3.3 Tercera propiedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4 Ecuaci´on de Poisson y funciones de Green del Laplaciano . . . . 59

5.4.1 Noci´on de funci´on de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.4.2 Ecuaci´on de Poisson en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4.3 Ecuaci´on de Poisson en un dominio ­ . . . . . . . . . . . 63

6 Resoluci´on de las ecuaciones 67

6.1 Sistemas acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1.1 Caso hiperb´olico: la cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . 67

6.1.2 Caso parab´olico: difusi´on del calor . . . . . . . . . . . . . 70

6.1.3 Caso el´iptico: ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . 71

6.1.4 Resoluci´on general de la ecuaci´on de las ondas . . . . . . 73

6.2 Sistemas no acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.1 Propagaci´on de una onda sin o con dispersi´on . . . . . . . 77

6.2.2 Ejemplo de fen´omeno de dispersi´on . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.3 Forma general de las ondas progresivas . . . . . . . . . . . 81

6.2.4 Ejemplo: difusi´on del calor sobre una barra infinita . . . . 83

7 M´etodos diversos de resoluci´on de ecuaciones diferenciales. 85

7.1 M´etodo de Wronsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.1.1 Caso homog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.1.2 Propiedades del Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.1.3 Caso inhomog´eneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.1.4 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.2 Transformaci´on integral sobre un dominio infinito . . . . . . . . 88

7.2.1 Transformaci´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.2 Transformaci´on de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.3 M´etodo de la funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.3.1 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.4 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8 Geometr´ia y separaci´on de variables 97

8.1 Ecuaci´on de Helmoltz en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . 99

8.2 Ecuaci´on de Helmoltz en coordenadas cil´indricas . . . . . . . . . 100

8.3 Ecuaci´on de Helmoltz en coordenadas esf´ericas . . . . . . . . . . 100

5

9 Espacio de Hilbert 103

9.1 El problema de la aproximaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.2 Realizaci´on y propiedades elementales del espacio de Hilbert . . . 106

9.3 Sobre-espacios Hilbertianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.4 Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10 Polinomios ortogonales sobre un int´ervalo finito: polinomios de

Legendre 113

10.1 Polinomios ortogonales sobre un int´ervalo finito . . . . . . . . . . 113

10.2 Construcci´on de los polinomos de Legendre . . . . . . . . . . . . 116

10.3 La f´ormula de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.4 La ecuaci´on diferencial de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10.5 La funci´on de generaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

10.6 Relaci´on de recurrencia . . . . . . . . . . . .

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