FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10
EJEMPLO 10: (Parece que no, pero se puede aplicar el caso)
4x3 - 4x2 + x - 1 =
4x2.(x - 1) + x - 1 =
4x2.(x - 1) + 1.(x - 1) =
(x - 1).(4x2 + 1)
Parece que no se pudiera aplicar el caso, porque entre x y 1 no hay Factor Común. Sin embargo el caso se puede aplicar, sólo hay que saber reconocer la situación. En el paso 2 es donde se vislumbra la posibilidad de usar el caso, por el resultado que dió la primera agrupación.
EXPLICACIÓN:
En un ejemplo como éste, uno agrupa dos de los términos, y entre los que quedan no hay factor común. Parece que no se pudiera aplicar el caso.
PERO... LOS DOS TÉRMINOS QUE QUEDARON SIN AGRUPAR SON IGUALES A LOS DEL RESULTADO. (En nuestro ejemplo: x - 1)
Primero agrupé 4x3 con 4x2, porque entre ellos hay factor común 4x2. Y luego de sacar factor común, veo que el resultado es (x - 1).
Luego veo que en los otros dos términos no hay Factor común...
Sin embargo, los términos que quedaron sin agrupar son justamente "x - 1"
¡IGUAL QUE EL RESULTADO DE LA AGRUPACIÓN!
Cuando sucede esto, el caso se puede seguir. Hay que sacar factor común "1" entre los términos esos que quedaron.
PASO 1:
4x2. (x - 1) + x - 1 =
Entre los dos primeros pude sacar factor común 4x2. Entre los otros no. Pero observo que el resultado dió (x - 1), igual que los términos que sobraron: x - 1
PASO 2:
Saco factor común "1" entre los que quedaron sin agrupar (tercer y cuarto término):
4x2. (x - 1) + 1.(x - 1) =
Quedaron los resultados iguales. (¿cómo se saca factor común "1"?)
PASO 3:
No queda más que sacar factor común (x - 1):
(x - 1).(4x2 + 1) (Más información sobre este PASO en EJEMPLO1 - PASO 2)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Otros Ejemplos: "Desordenados", "Opuestos" o ambas cosas
Cabe aclarar que no hace falta que sea idéntico el resultado. Puede ser opuesto o desordenado, tal como ya vimos en los ejemplos correspondientes.
Ejemplos donde quedan "desordenados":
5x2 + 5x + 1 + x =
5x.(x + 1) + 1 + x = Es lo mismo (x + 1) que (1 + x), como ya vimos en el antes (DESORDENADOS)
5x.(x + 1) + 1.(1 + x) = Saco factor común "1"
5x.(x + 1) + 1.(x + 1) = Aquí "ordené"
(x + 1).(5x + 1)
5x2 - 5x - 1 + x =
5x.(x - 1) - 1 + x = Es lo mismo (x - 1) que -1 + x (Más explicación en DESORDENADOS)
5x.(x - 1) + 1 .(- 1 + x) = Saco factor común "1"
5x.(x - 1) + 1 .(x - 1) = Ordeno
(x - 1).(5x + 1)
Ejemplos donde quedan "opuestos":
3x4 + 6x - x3 - 2 =
3x.(x3 + 2) - x3 - 2 = (x3 + 2) y - x3 - 2 son opuestos (¿qué son los opuestos?)
3x.(x3 + 2) + 1.(-x3 - 2) =
3x.(x3 + 2) - 1.(x3 + 2) =
.(x3 + 2).(3x - 1)
3x4 - 6x - x3 + 2 =
3x.(x3 - 2) - x3 + 2 =
3x.(x3 - 2) + 1.(-x3 + 2) = (x3 - 2) y - x3 + 2 son opuestos
3x.(x3 - 2) - 1.(x3 - 2) =
(x3 - 2).(3x - 1)
Ejemplos donde quedan "opuestos y desordenados":
x4 + x3 - 1 - x =
x3.(x + 1) + 1.(-1 - x) =
x3.(x + 1) - 1.(1 + x) =
x3.(x + 1) - 1.(x + 1) =
(x + 1).(x3 - 1)
x4 - x3 + 1 - x =
x3.(x - 1) + 1.(1 - x) =
x3.(x - 1) - 1.(-1 + x) =
x3.(x - 1) - 1.(x - 1) =
(x - 1).(x3 - 1)
¿Cómo se saca factor común "1"?
De la misma manera que se saca cualquier otro número. Y como estamos dividiendo a los términos por el "1", los términos quedan iguales, por supuesto. (División por "1")
Por ejemplo:
3x2 + 4 = 1.(3x2 + 4) Ya que "3x2 dividido 1 es igual a 3x2"; y "4 dividido 1 es igual a 4"
x - 5 = 1.(x - 5)
2x + 4 = 1.(2x + 4)
Obviamente, dentro del paréntesis queda el mismo polinomio, ya que dividir por 1 es lo mismo que "no hacerle nada". "Cualquier cosa dividida por 1 dá la misma cosa".
División por "1"
Si divido a un número cualquiera por 1, el resultado es el mismo número. Por ejemplo:
"5 dividido 1 dá como resultado 5". "9 dividido 1 dá como resultado 9".
Se dice que el número 1 es "neutro" en la división (Nota). Porque al efectuar la operación, es como si no hiciera nada. Nada se modifica. El número sigue siendo igual.
Lo mismo se aplica para las letras, ya que éstas representan a números de valor desconocido, y se comportan como los números. Entonces, si dividido a una letra por el número 1, el resultado es la misma letra. Por ejemplo: "x dividido 1 dá como resultado x"
Y lo mismo para expresiones o términos que tengan números y letras. Por ejemplo:
"2x3 dividido 1, dá como resultado 2x3"
"-5x dividido 1, dá como resultado -5x"
NOTA 1: El uso permanente de la calculadora para todas la cuentas desde edad temprana, hace que no se incorporen ciertas propiedades básicas que pueden parecer obvias para otros que sí las han aprendido. Multiplicar por 1, dividir por 1, multiplicar por 0, sumar 0, restar 0, dividir al 0, dividir a un número por sí mismo, sumar y restar el mismo número, etc... Encuentro que la mayoría de los alumnos tiene que recurrir a la calculadora para esas cuentas, o preguntan, o se equivocan. Por tal razón, por que quiero imaginarme todas las preguntas que pueda tener el que lee, es que aclaro estos puntos. Aunque a algunos les parezca fútil, otros lo necesitan. Y esta página tiene muy presente el objetivo ayudar a resolver ejercicios justamente a quienes tienen este tipo de "baches" en su preparación previa.
Nota 2: Neutro hacia la derecha (sólo para los más rigurosos).
¿Se puede agrupar de otra manera en este ejemplo?
4x3 - 4x2 + x - 1 =
x.(4x2 + 1) - 4x2 - 1 = Se puede. Quedó con el resultado "opuesto"
x.(4x2 + 1) + 1.(-4x2 - 1) =
x.(4x2 + 1) - 1.(4x2 + 1) =
(4x2 + 1).(x - 1)
Más ejemplos, parecidos al Ejemplo 10:
x3 + x2 + x + 1 =
x2.(x + 1) + x + 1 =
x2.(x + 1) + 1.(x + 1) =
(x + 1).(x2 + 1)
5x4 - 5x + x3 - 1 =
5x.(x3 - 1) + x3 - 1 =
5x.(x3 - 1) + 1.(x3 - 1) =
(x3 - 1).(5x + 1)
3xy + y - 3x - 1 =
y.(3x + 1) - 3x - 1 =
y.(3x + 1) + 1.(-3x - 1) =
y.(3x + 1) - 1.(3x + 1) =
(3x + 1).(y - 1)
2x2 - x - 2x + 1 =
x.(2x - 1) - 2x + 1 =
x.(2x - 1) + 1.(-2x + 1) =
x.(2x - 1) - 1.(2x - 1) =
(2x - 1).(x - 1)
a2b - b + 1 - a2 =
b.(a2 - 1) + 1 - a2 =
b.(a2 - 1) + 1.(1 - a2) =
b.(a2 - 1) - 1.(-1 + a2) =
b.(a2 - 1) - 1.(a2 - 1) =
(a2 - 1).(b - 1)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar e:
SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Resultado desordenado)
EJEMPLO 3 (Con términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con términos negativos y resultado desordenado)
EJEMPLO 5 (Resultados opuestos)
EJEMPLO 6 (Resultados opuestos y desordenados)
EJEMPLO 7 (Todos los términos son negativos)
EJEMPLO 8 (Agrupando términos no consecutivos)
EJEMPLO 9 (Polinomio de 6 términos)
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