Matrices y Determinantes Tema: Matrices APUNTES Y EJERCICIOS

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Matrices y Determinantes

Tema: Matrices

APUNTES Y EJERCICIOS

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Matrices

El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra.

Definición de matriz: Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. En general, para representar una matriz A de orden m×n se escribe:

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Cada uno de los números que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de Matrices

• Matriz fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila.  [pic 14]
• Matriz columna: La matriz columna tiene una sola columna. [pic 15]
• Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.  [pic 16]
• Matriz cuadrada: La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.  [pic 17]
• Matriz nula: En una matriz nula todos los elementos son ceros.  [pic 18]
• Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. [pic 19]
• Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. . [pic 20]
• Matriz diagonal: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. .[pic 21]
• Matriz escalar: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. .[pic 22]
• Matriz identidad o unidad: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. [pic 23]
• Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

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Donde se cumplen las siguientes propiedades.

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• Matriz regular: Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.
• Matriz singular: Una matriz singular no tiene matriz inversa.
• Matriz idempotente: Una matriz, A, es idempotente si: A2 = A.
• Matriz involutiva: Una matriz, A, es involutiva si: A2 = I.
• Matriz simétrica: Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = At.
• Matriz antisimétrica o hemisimétrica: Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.
• Matriz ortogonal: Una matriz es ortogonal si verifica que: A·At = I.

Operaciones con matrices

Suma de Matrices: Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

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Propiedades de la suma de matrices

• Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Elemento neutro: A + 0 = A, Donde 0 es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
• Elemento opuesto: A + (-A) = 0, La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
• Conmutativa: A + B = B + A

Producto de una matriz por escalar: Dada una matriz A = (aij) y un número real k [pic 32]R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. k · A=(k aij)

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Propiedades:

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Producto de matrices: Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm x p x Mp x n = M m x n

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

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