Tranformada De Aplace

Índice pig.

Introducción --------------------------------------------------------------2

Objetivo general ---------------------------------------------------------3

Objetivo especifico -----------------------------------------------------3

Desarrollo del trabajo----------------------------------------------------3

Propiedades de la trasformada----------------------------------------4

Propiedad lineal- ---------------------------------------------------------6

Teorema de traslación de eje s --------------------------------------7

Propiedad de cambio de escala ------------------------------------10

Transformada inversa de Laplace de las derivadas---------------10

Transformada inversa de Laplace de las integrales---------------12

Transformada de la función escalón -------------------------------- 13

Teorema de convolución---------------------------------------------- 13

Recomendación ---------------------------------------------------------14

Conclusión--------------------------------------------------------------- -14

Bibliografía-----------------------------------------------------------------15

Introducción.

Vamos a desarrollar un tema sobre la Transformada de Laplace y su aplicación a la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales.

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.

La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simón Laplace.

La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral.

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Objetivo general.

El objetivo esencial de este trabajo es presentar con rigor y precisión matemáticos la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferenciales y mostrar las ideas que sustentan esta teoría.

Objetivo especifico

1. Presentar las generalidades teóricas y prácticas del método.

2. poder aplicar las diferentes propiedades de la transformada de la place inversa.

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Desarrollo del trabajo

Definición. Si la transformada de Laplace de una función F(t) es f(s), es decir, si L |F(t)| = f(s), entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace de f(s) y se expresa por F(t) = L-1 |f(s)| , donde L-1 se llama el operador transformada inversa de Laplace. Como la transformada de Laplace de una función nula N(t) es cero, es claro que si L |f(t)| = f(s) entonces L |F(t) + N(t)| = f(s). De esto se deduce que puede haber dos funciones diferentes con la misma transformada de Laplace.

Para demostrar algunos aspectos, tomemos el siguiente ejemplo, en el cual dos funciones diferentes F1 (t) = e-3t y F2(t) = 0 t =1

e-3t de otra manera tienen la misma transformada de Laplace, es decir 1/(s + 3),

Si la consideramos las funciones nulas, vemos que la transformada inversa de Laplace es única. Sin embargo, es única en cada intervalo 0<= t <= N y de orden exponencial para t > N, aceptará siempre esa unicidad a menos que se establezca claramente lo contrario.

Propiedades de la Transformada.

En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace.

Linealidad

Idea

La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

Primer Teorema de Traslación

donde

Idea

La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s.

Versión para la inversa:

Teorema de la transformada de la derivada

Idea

La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

Teorema de la transformada de la integral

Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista

Teorema de la derivada de la transformada

Transformada de la función escalón

Si representa la función escalón unitario entonces

Segundo teorema de Traslación

Transformada de una función periódica

Si f(t) es una función periódica con período T:

Teorema de la Convolución

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

PROPIEDAD LINEAL.

Teorema. Si c1y c2 son constantes arbitrarias y f1(s) y f2(s) son las transformadas de F18t) y F2(t) respectivamente, entonces

L-1{c1f1(s) + c2f2(s)} = c1 L-1{f1(s)} + c2 L-1{f2(s)}

= c1F1(t) + c2F2(t)

Este resultado se puede extender fácilmente al caso de más de dos funciones.

L-1 4/(s - 2) - 3s/(s2 + 16) + 5/(s2+ 4) =

4 L-1 1/(s - 2) - 3 L-1 s/(s2 + 16) + 5 L-1 1/(s2 + 4) =

= 4e2t - 3 cos 4t + 5/2 sen 2t

Debido a esta propiedad podemos decir que L-1 es un operador lineal o que tiene propiedad de linealidad.

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