14 Integral definida

14 Integral definida

■ Piensa y calcula

Halla, contando, el área de la 2ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cada

cuadradito es una unidad cuadrada.

Solución:

Tiene exactamente 7,5 u2

1. Integral definida

1. Calcula ∫2

–1

(5 – x2) dx

Solución:

a) F(x) = 5x –

b) F(–1) = – , F(2) =

c) ∫2

–1

(5 – x2) dx = 12 u2

2. Calcula ∫1

3

(–2x + 1) dx

Solución:

a) F(x) = x – x2

b) F(1) = 0, F(3) = –6

c) ∫3

1

(5 – x2) dx = –6 u2

3. Siendo |x| el valor absoluto o módulo de x, calcula la

integral definida ∫2

–1

|x| dx

Solución:

a) ∫2

–1

|x| dx = ∫0

–1

(–x) dx + ∫2

0

x dx

Sea F(x) = ∫(–x) dx

F(x) = –

F(–1) = – , F(0) = 0

∫0

–1

(–x) dx = u2

G(x) = ∫x dx

1

2

1

2

x2

2

Y

X

–1 2

Y

1 3 X

22

3

14

3

x3

3

Y

X

–1 2

● Aplica la teoría

Y

X

5

+

2

y = x – 1

x = 2 x = 5

[ ]

TEMA 14. INTEGRAL DEFINIDA 457

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

■ Piensa y calcula

Halla por aproximación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del dibujo del

margen. Cada cuadradito es una unidad cuadrada.

Solución:

La amarilla, 5 u2 aproximadamente, y la verde 2 u2 aproximadamente.

En total, unas 7 unidades cuadradas.

2. Cálculo de áreas

7. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de

f(x) = x3 – 3x2 – x + 3, el eje de abscisas y las rectas

x = 0,x = 3

Solución:

Raíces: x1 = –1, x2 = 1, x3 = 3

∫(x3 – 3x2 – x + 3) dx = – x3 – + 3x

∫1

0

(x3 – 3x2 – x + 3) dx = u2

∫3

1

(x3 – 3x2 – x + 3) dx = –4 u2

Área = = 5,75 u 23 2

4

7

4

x2

2

x4

4

Y

X

0 3

1

● Aplica la teoría

G(x) =

G(0) = 0, G(2) = 2

∫2

0

x dx = 2 u2

∫2

–1

|x| dx = ∫0

–1

(–x) dx + ∫2

0

x dx = = 2,5 u2

4. Calcula la derivada de F(x) = ∫3x

x2

cos t dt

Solución:

F'(x) = 2x cos x2 – 3 cos 3x

5. Calcula ∫1

2

L x dx

Solución:

a) F(x) = x(L |x| – 1)

b) F(1) = –1, F(2) = 2 (L 2 – 1)

c) ∫2

1

L x dx = 2 L 2 – 1 = 0,39 u2

6. Calcula el valor de ∫0

1

Solución:

a) F(x) = – e–x2

b) F(0) = – , F(1) = – e–1

c) ∫1

0

= (1 – e–1) = 0,32 u2 1

2

x dx

ex2

1

2

1

2

1

2

Y

X

0 1

x dx

ex2

X

Y

1 2

5

2

x2

2

Y

1 3 4 X

y = x2 – 2x – 3

x = 1 x = 4

A1

A2

458 SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

8. Halla el área del recinto limitado por la recta y = 3 – 2x

y la parábola y = 2x – x2

Solución:

Raíces: x1 = 1, x2 = 3

∫(–x2 + 4x – 3) dx = – + 2x2 – 3x

∫3

1

(–x2 + 4x – 3) dx = u2

Área = = 1,33 u2

9. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de

y = x3 – 4x y el eje X

Solución:

Raíces: x1 = –2, x2 = 0, x3 = 2

∫(x3 – 4x) dx = – 2x2

∫0

–2

(x3 – 4x) dx = 4 u2

∫2

0

(x3 – 4x) dx = –4 u2

Área = 8 u2

10. Calcula el área de la región limitada por la curva

y = y las rectas y = 0, x = 2, x = 3

Solución:

Raíces: x = 0

∫ dx = L |x3 – 2|

∫3

2

dx = (L 25 – L 6) u2

Área = (L 25 – L 6) = 0,48 u2

11. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Dibuja el recinto limitado por las curvas:

y = ex + 2, y = e–x, y = 0, x = –2, x = 0

b) Halla el área del recinto considerado en el apartado

anterior.

Solución:

Raíces: x = –1

∫–1

–2

ex + 2 dx = e – 1 u2

∫0

–1

e–x dx = e –

...