ALFABETO GRIEGO

EL PROBLEMA DE MONTY HALL

En un programa de televisión estadounidense llamado “Let’sMake a Deal”, el presentador, Monty Hall, epónimo de nuestro problema, propone lo que “Chabelo” en su programa “En familia con Chabelo”, llama “la catafixia”. El problema reza más o menos así:

Un concursante escoge, al azar, una puerta entre tres, y su premio consiste en lo que se encuentra detrás de la puerta escogida. Una de ellas oculta el premio, y tras las otras dos no hay premio. Sin embargo, antes de abrirla, el presentador, que sabe dónde está el premio, abre una de las otras dos puertas y muestra que no hay premio detrás de ella. Ahora el concursante tiene la oportunidad de cambiar la puerta escogida ¿Debe el concursante mantener su elección inicial, escoger la otra puerta o es indistinto cambiar o no de puerta? Justifique su respuesta con base en teoría de probabilidad.

RESPUESTA.

Definimos cuidadosamente los siguientes sucesos. Asumimos que hay dos tipos de jugador, los que nunca cambian de puerta y los que cambian siempre; en este caso la pregunta se limita a ver qué tipo de jugador tiene la mayor probabilidad de ganar el premio.

Suceso Descripción

E_1 El concursante selecciona la puerta que contiene el premio en su selección inicial.

E_2 El concursante selecciona una puerta que no contiene el premio en su selección inicial.

G El concursante gana el coche.

Observemos que los eventos cumplen con:

E_1 UE_2=Ω

E_1∩E_2=∅

P(E_1 )=1⁄3

P(E_2 )=2⁄3

Demostraremos que G=(G∩E_1 )∪(G∩E_2 ).

G=G∪∅=G∪(E_1∩E_2 )=(G∪E_1 )∩(〖G∪E〗_2 )=(G∩E_1 )∪(G∩E_2 )

Ahora demostraremos que (G∩E_1 )∩(G∩E_2 )=∅

(G∩E_1 )∩(G∩E_2 )=[(G∩E_1 )∩G]∩E_2=[G∩(E_1∩G) ]∩E_2

(G∩E_1 )∩(G∩E_2 )=[G∩(G∩E_1 ) ]∩E_2=[(G∩G) 〖∩E〗_1 ]∩E_2

(G∩E_1 )∩(G∩E_2 )=(〖G∩E〗_1 )∩E_2=G∩(E_1∩E_2 )=G∩∅=∅

Por tanto:

P(G)=P[(G∩E_1 )∪(G∩E_2 ) ]=P(G∩E_1 )+P(G∩E_2 )

P(G)=P(G/E_1 )P(E_1 )+P(G/E_2 )(E_2 )

Ahora definimos qué tipo de concursante estamos considerando.

Concursante que nunca cambia de puerta.

Si el concursante nunca cambia de puerta, entonces tenemos que:

P(G/E_1 )=1

P(G/E_2 )=0

Por tanto tenemos que:

P(G)=P(G/E_1 )P(E_1 )+P(G/E_2 )(E_2 )

P(G)=1(1⁄3)+0(2⁄3)

P(G)=1⁄3

Es decir que si un concursante no cambia de puerta, entonces la probabilidad de que gane es uno de cada tres concursos.

Concursante que siempre cambia de puerta.

Si el concursante cambia de puerta, entonces tenemos que:

...