APLICACIÓN DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES QUE ENCONTRAMOS EN EL CÍRCULO DE MOHR

APLICACIÓN DE LOS ESFUERZOS PRINCIPALES QUE ENCONTRAMOS EN EL CÍRCULO DE MOHR Y LA RELACIÓN ENTRE TRESCA Y LOS ESFUERZOS PRINCIPALES.

[pic 1]

Autor:

 Montero Palencia Maria Teresa.

Docente: Julián Miguel Salas Siado

REPÚBLICA DE COLOMBIA

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

INGENIERÍA INDUSTRIAL

PROCESOS INDUSTRIALES

Barranquilla,2, Octubre 2015

Contenido

1. INTRODUCCIÓN

En este trabajo se parte de conceptos fundaméntales de resistencia de materiales como lo son, esfuerzos principales, circulo de Mohr y sobre todo la aplicación  e importante uso que los ingenieros le podemos dar, en diferentes condiciones.  

       2. JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVOS

             La presente investigación se hace con el fin de analizar, evaluar y observar todos

             los elementos  que intervienen para poder hacer una adecuada conexión entre las

             aplicaciones de los diferentes conceptos.

3. MARCO TEÓRICO

3.1 ESFUERZO

Para recordar el concepto de esfuerzo considere el cuerpo de la figura 2.1.a, el cual está sometido a fuerzas F1, F2, F3, etc. Al hacer el corte mostrado en la figura 2.1.b y aislar la parte izquierda, se obtiene el diagrama de cuerpo libre mostrado en la misma figura, en el que aparece una fuerza interna F en la sección de corte 1. En general, esta fuerza tendrá una componente tangencial al plano, Ft, y una componente normal, Fn, tal como se muestra en la figura 2.1.c.

[pic 2]

1. cuerpos                   b. Diagrama de cuerpo               c. F es la suma de las

          sometido a                libre de una parte del                     componentes Ft y Fn

             fuerzas                    cuerpo. Aparece una            

           externas                    fuerza interna F          

Figura 2.1  Fuerzas normales y cortantes en una sección de un elemento sometido a fuerzas externas.

3.2 EL TENSOR DE ESFUERZOS

Considere un elemento infinitesimal tridimensional bajo la acción de esfuerzos:

[pic 3]

 Figura 2.2. Elemento tridimensional bajo la acción de esfuerzos.

Sobre el elemento actúan tres esfuerzos normales y seis esfuerzos cortantes sobre las caras. El estado de esfuerzos en el elemento es descrito mediante una matriz de 3*3 denominada el  tensor de esfuerzos

    σ   =  σxx τxy τxz

             τyx σyy τyz

             τzx τzy σzz

               (2.2)

El tensor de esfuerzos es simétrico debido a que los esfuerzos cortantes cruzados deben ser iguales para garantizar equilibrio del elemento. En el caso bidimensional:

[pic 4]

Figura 2.3.  Elemento bidimensional bajo la acción de esfuerzos

Sobre el elemento actúan dos esfuerzos normales y dos esfuerzos cortantes sobre las caras. Los esfuerzos cortantes son iguales para garantizar equilibrio del elemento, el tensor de esfuerzos en este caso es entonces:

      σ   =  σx τxy  

               τxy σy

            (2.3)

El caso bidimensional es generalmente el hallado en los problemas de diseño mecánico.

3.3 ESFUERZOS PRINCIPALES

Los esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actúan sobre el elemento y se hallan por medio de una rotación de coordenadas. Los esfuerzos normales principales se denotan como σ1 > σ2 > σ3, y en el ángulo de rotación en el que se dan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto se nota como τmax y en el ángulo de rotación al que se da los esfuerzos normales son el promedio de los esfuerzos normales del tensor de esfuerzos. Los esfuerzos normales principales son los eigenvalores o valores propios del tensor de esfuerzos. En el caso tridimensional, debe resolverse la ecuación

det = σ-σx       -τxy       -τxz

          -τxy       σ-σy       -τyz    = 0     (2.4)

          -τxz       -τyz         σ-σz

Los esfuerzos principales son las tres raíces de 2.4.

El esfuerzo cortante máximo absoluto es:       (2.5)                 [pic 5]

[pic 6]

Figura 2.4.  Esfuerzos principales tridimensionales.

Para el caso bidimensional, los valores propios del tensor de esfuerzos se hallan de:

det =  σ-σx       -τxy

           -τxy       σ-σy     = 0    

(σ-σx) (σ-σy) - τ^2 xy  = 0

σ^2 - (σx+σy)σ +(σxσy- τ^2 xy) = 0

 Resolviendo la ecuación cuadrática resulta:      

    (2.6)[pic 7]

Y . El esfuerzo cortante máximo absoluto es: [pic 8]

                (2.7)[pic 9][pic 10]

3.4 EL CÍRCULO DE MOHR

El ingeniero Otto Mohr propuso un método gráfico para hallar los esfuerzos principales basándose en las ecuaciones. Vemos que los esfuerzos principales pueden escribirse como el esfuerzo promedio sumándole o restándole un valor:

     (2.8)[pic 11]

       [pic 12][pic 13]

Vemos que el esfuerzo cortante máximo absoluto es:

 (2.9)[pic 14]

...