APLICACION DE LAS DERIVADAS PARCIALES EN LA INGENIERIA

APLICACION DE LAS DERIVADAS PARCIALES EN LA INGENIERIA

Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales son:

ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DEL CALOR

Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

La conducción del calor. Ley de Fourier

Se estudia dos importantes fenómenos análogos:

• La transmisión del calor a lo largo de una barra metálica.

• La difusión unidimensional de un soluto en un disolvente.

Las leyes físicas que describen su comportamiento son simples y fácilmente comprensibles, pero la descripción analítica es compleja. Trataremos además, de resaltar las diferencias entre los mecanismos básicos que explican ambos fenómenos, y cómo afectan las condiciones de contorno a su evolución temporal. Así, en el problema de la conducción del calor a lo largo de una barra metálica se establecerán temperaturas fijas en los extremos de la barra, mientras que en el problema de la difusión se establecerá una masa de soluto en el origen de un medio unidimensional infinito en extensión.

Los fenómenos de transporte son aquellos procesos en los que hay una transferencia neta o transporte de materia, energía o momento lineal en cantidades grandes o macroscópicas. Estos fenómenos físicos tienen rasgos comunes que pueden ser descritos mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional

∂Ψ∂t=α∂2Ψ∂x2

Donde a es una constante característica de cada situación física y Ψ es el campo correspondiente al fenómeno de transporte de que se trata.

Históricamente, la ecuación que describe la difusión se denomina ley de Fick. El campo Ψ describe la concentración de soluto en el disolvente y la constante α=D, siendo D el coeficiente de difusión. La difusión se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de concentración entre dos puntos del medio.

La ecuación que describe la conducción térmica se conoce como ley de Fourier, en este caso el campo Ψ es la temperatura T, y el coeficiente α=K/(ρc), donde K, es la conductividad térmica, ρ la densidad, y c es el calor específico del material. La conducción del calor se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de temperaturas entre dos puntos de una barra metálica.

Se estudia cada uno de los fenómenos en dos partes:

• Se calcula la solución de la ecuación diferencial que gobierna el proceso.

• Se simulan los fenómenos a partir de mecanismos básicos simples. La simulación nos permitirá explicar las facetas esenciales de la descripción matemática del fenómeno en cuestión.

ECUACIÓN DE ONDA

Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describe fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.

La ecuación de onda es el ejemplo prototipo de una ecuación diferencial parcial hiperbólica. En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a una funciónu(x,t) que satisface:

Donde es el laplaciano y donde es una constante equivalente a la velocidad de propagación de la onda. Para una onda sonora en el aire a 20 °C, esta constante es de cerca de 343 m/s (véase velocidad del sonido). Para una cuerda vibrante, la velocidad puede variar mucho dependiendo de la densidad lineal de la cuerda y su tensión. Para un resorte de espiral (un slinky) puede ser tan lento como un metro por segundo.

Un modelo más realista de la ecuación diferencial para ondas permite que la velocidad de propagación de la onda varíe con la frecuencia de la onda, a este fenómeno se le conoce como dispersión. En este caso, deberá ser remplazado por la velocidad de fase:

Otra corrección común en sistemas realistas es que la velocidad puede depender también de la amplitud de la onda, lo que nos lleva a una ecuación de onda no lineal:

También hay que considerar que una onda

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