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Derivadas Parciales


Enviado por   •  25 de Noviembre de 2012  •  5.517 Palabras (23 Páginas)  •  689 Visitas

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Cap¶³tulo 8

Derivadas parciales y

diferencial

8.1. Derivadas parciales de primer orden.

Sean f : D ½ R2 ! R y (x0; y0) 2 D. Si existe y es ¯nito

l¶³m

x!x0

f(x; y0) ¡ f(x0; y0)

x ¡ x0

; (8.1)

su valor se denota por

@f

@x

(x0; y0)

o

f0

x(x0; y0)

y recibe el nombre de derivada parcial de f con respecto a x en el punto

(x0; y0). De forma similar se de¯ne la derivada parcial con respecto a y:

@f

@y

(x0; y0) = l¶³m

y!y0

f(x0; y) ¡ f(x0; y0)

y ¡ y0

;

que se denota tambi¶en por f0y

(x0; y0).

236

Ejemplo 8.1.1. Sea f(x; y) = xy2

x2+y2 , si (x; y) 6= (0; 0), y f(0; 0) = 0. Las

derivadas parciales en el origen se obtienen de la siguiente forma:

@f

@x

(0; 0) = l¶³m

x!0

f(x; 0) ¡ f(0; 0)

x ¡ 0

=

= l¶³m

x!0

0

x2 ¡ 0

x

= l¶³m

x!0

0

x

= l¶³m

x!0

0 = 0

@f

@y

(0; 0) = l¶³m

y!0

f(0; y) ¡ f(0; 0)

y ¡ 0

=

= l¶³m

y!0

0

y2 ¡ 0

y

= l¶³m

y!0

0

y

= l¶³m

x!0

0 = 0:

De (8.1) se sigue que, para x cercano a x0, el cociente incremental

f(x; y0) ¡ f(x0; y0)

x ¡ x0

estar¶a muy pr¶oximo a su l¶³mite. Por tanto, la derivada parcial @f

@x (x0; y0)

representa la velocidad con que var¶³a f en el punto (x0; y0) y a lo largo de

la recta y = y0, ya que haciendo el producto ¢x@f

@x (x0; y0) se obtiene una

aproximaci¶on del incremento

f(x0 + ¢x; y0) ¡ f(x0; y0);

y la aproximaci¶on es tanto mejor en cuanto que el incremento ¢x es m¶as

peque~no.

An¶alogamente, la derivada parcial @f

@y (x0; y0) representa la velocidad con

que var¶³a la funci¶on en el punto (x0; y0) a lo largo de la recta x = x0.

Debe notarse que la derivada parcial @f

@x (x0; y0) no es otra cosa que la

derivada con respecto a x, en el punto x0, de la funci¶on de x que resulta

cuando hacemos y = y0 en f(x; y). Es decir, es la derivada de f(x; y0) con

respecto a x.

237

Las funciones m¶as simples, como las que son el resultado de realizar las

operaciones habituales entre funciones derivables elementales, poseen las dos

derivadas parciales en cada punto (x; y), En estos casos, @f

@x y @f

@y se obtienen

derivando f respecto de x e y, respectivamente, y suponiendo constante la

otra variable.

Ejemplos 8.1.2. a) f(x; y) = x sen(xy).

@f

@x

(x; y) = sen(xy) + xy cos(xy)

@f

@y

(x; y) = x2 cos(xy):

b) f(x; y) = xy

1+y2 .

@f

@x

(x; y) =

y

1 + y2

@f

@y

= x

¡1 + y2 ¡ y2y

(1 + y2)2

¢

=

x(1 ¡ y2)

(1 + y2)2 :

8.2. Derivadas de orden superior.

Sea f una funci¶on que posee derivadas parciales de primer orden en cada

punto de cierto conjunto D ½ R2. Las funciones

(x; y) 2 D ! f0

x(x; y) 2 R

y

(x; y) 2 D ! f0

y(x; y) 2 R

se denotan por f0x

y f0y

, respectivamente, y reciben el nombre de funciones

derivadas parciales de primer orden de f. Sus derivadas parciales de primer

orden se denominan derivadas parciales de segundo orden de f. As¶³, por

ejemplo, el siguiente l¶³mite

238

l¶³m

x!x0

f0x

(x; y0) ¡ f0x

(x0; y0)

x ¡ x0

es la derivada parcial de primer orden con respecto a x de la funci¶on f0x

en

el punto (x0; y0):

Se denota por f00

xx(x0; y0) (derivada parcial de segundo orden de f

con respecto a x dos veces).

Las derivadas parciales cruzadas, f00

xy(x0; y0) y f00

yx(x0; y0), en general son

diferentes. Sus de¯niciones precisas son

f00

yx(x0; y0) = l¶³m

x!x0

f0y

(x; y0) ¡ f0y

(x0; y0)

x ¡ x0

f00

xy(x0; y0) = l¶³m

y!y0

f0x

(x0; y) ¡ f0x

(x0; y0)

y ¡ y0

:

N¶otese que f00

yx(x0; y0) es la derivada parcial de f0y

con respecto a x en

el punto (x0; y0). Esta notaci¶on para las derivadas de orden superior es m¶as

c¶omoda que la notaci¶on cl¶asica siguiente

@2f

@x@y

(x0; y0) =

@

@x

¡@f

@y

¢

(x0; y0);

Vamos a ver un ejemplo de una funci¶on f para la que f0

xy(0; 0) = ¡1 y

f0y

x(0; 0) = 1.

Ejemplo 8.2.1. Calcular las derivadas cruzadas en el origen de la funci¶on

f(x; y) = xy

¡x2 ¡ y2

x2 + y2

¢

; si (x; y) 6= (0; 0)

y f(0; 0) = 0:

Derivando respecto de x, considerando y constante, obtenemos

f0

x(x; y) =

(3x2y ¡ y3)(x2 + y2) ¡ (x3y ¡ xy3)2x

(x2 + y2)2 =

239

=

y(x4 + 4x2y2 ¡ y4)

(x2 + y2)2 ;

para (x; y) 6= (0; 0).

Derivando ahora respecto de y, considerando x constante, resulta

f0

y(x; y) =

(x3 ¡ 3xy2)(x2 + y2) ¡ (x3y ¡ xy3)2y

(x2 + y2)2 =

=

x(x4 ¡ 4x2y2 ¡ y4)

(x2 + y2)2 ;

para (x; y) 6= (0; 0).

Para calcular las derivadas parciales en el origen debemos acudir a la

de¯nici¶on:

f0

x(0; 0) = l¶³m

x!0

f(x; 0) ¡ f(0; 0)

x ¡ 0

= l¶³m

x!0

0

x2 ¡ 0

x ¡ 0

=

= l¶³m

x!0

0

x

= l¶³m

x!0

0 = 0

f0

y(0; 0) = l¶³m

x!0

f(0; y) ¡ f(0; 0)

y ¡ 0

= l¶³m

y!0

0

y2 ¡ 0

y ¡ 0

=

= l¶³m

y!0

0

y

= l¶³m

y!0

0 = 0:

Ahora estamos en condiciones de proceder a calcular las derivadas par-

ciales de segundo orden en el origen:

f00

yx(0; 0) = l¶³m

x!0

f0y

(x; 0) ¡ f0y

(0; 0)

x ¡ 0

=

= l¶³m

x!0

x ¡ 0

x ¡ 0

= 1

f00

xy(0; 0) = l¶³m

y!0

f0x

(0; y) ¡ f0x

(0; 0)

y ¡ 0

=

= l¶³m

y!0

¡y ¡ 0

y ¡ 0

= ¡1:

240

...

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