Derivadas Parciales

Derivadas parciales

Estudiaremos ahora las derivadas relacionadas con funciones de dos variables.

Sea una función f de x y y. Si se hace y constante, es decir y = y0, y si se considera a x como variable, entonces f(x, y0) sólo está en función de x. Si esta función es derivable en x= x0, entonces el valor de esta derivada se denota por:

fx(x0, y0)

Y se llama derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x0, y0). Y si se hace constante la variable x, entonces f(x, y0) sólo está en función de y. Y si es derivable en y=y0, entonces tenemos:

fy(x0, y0)

Ejemplo1:

Encontrar fx y fy (derivada parcial con respecto a x y derivada parcial con respecto a y) de la función f(x,y) = 2x3y2 + 2y + 4x.

Solución:

Tratando a y como constante y derivando con respecto a x se tiene:

fx(x,y) = 6x2y2 + 4

Si tratamos a x como constante y derivando con respecto a la variable y se tiene:

fy(x,y) = 4x3y + 2

Si se exige hallar fx(1,2) y fy(-3,1) entonces lo que se debe realizar es reemplazar los valores numéricos en cada derivada parcial. Por tanto:

fx(1,2) = 28

fy(-1,1) = -2

Derivadas parciales

Estudiaremos ahora las derivadas relacionadas con funciones de dos variables.

Sea una función f de x y y. Si se hace y constante, es decir y = y0, y si se considera a x como variable, entonces f(x, y0) sólo está en función de x. Si esta función es derivable en x= x0, entonces el valor de esta derivada se denota por:

fx(x0, y0)

Y se llama derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x0, y0). Y si se hace constante la variable x, entonces f(x, y0) sólo está en función de y. Y si es derivable en y=y0, entonces tenemos:

fy(x0, y0)

Ejemplo1:

Encontrar fx y fy (derivada parcial con respecto a x y derivada parcial con respecto a y) de la función f(x,y) = 2x3y2 + 2y + 4x.

Solución:

Tratando a y como constante y derivando con respecto a x se tiene:

fx(x,y) = 6x2y2 + 4

Si tratamos a x como constante y derivando con respecto a la variable y se tiene:

fy(x,y) = 4x3y + 2

Si se exige hallar fx(1,2) y fy(-3,1) entonces lo que se debe realizar es reemplazar los valores numéricos en cada derivada parcial. Por tanto:

fx(1,2) = 28

fy(-1,1) = -2

...