Derivadas Parciales

La identidad termodinámica es una fórmula en resumen útil, que usa la fuerza del cálculo y particularmente las derivadas parciales. Se puede aplicar para examinar procesos, en los cuales se mantienen constantes una o mas variables de estado, como por ejemplo volumen constante, presión constante, etc. La identidad termodinámica se mantiene válida para cualquier cambio infinitesimal en un sistema, tanto tiempo como la presión y la temperatura que estén bien definidas. Se supone que el número de partículas es constante (o sea, se trata con el mismo sistema antes y después del cambio).

Identidad termodinámica:

dU = TdS - PdV

"d" denota el diferencial total de su cantidad asociada U = energía interna

S = entropía

V = volumen

T = temperatura

P = presión

Temperatura por la Identidad Termodinámica

A menudo, la definición de temperatura se hace en función de la energía cinética traslacional media de las partículas; a esta se le llama temperatura cinética. Se puede hacer una definición alternativa de la temperatura desde la identidad termodinámica:

Identidad termodinámica:

dU = TdS - PdV

"d" denota el diferencial total de su cantidad asociada U = energía interna

S = entropía

V = volumen

T = temperatura

P = presión

Si mantenemos el volumen constante, esto nos lleva a la expresión de la temperatura como la derivada parcial de la entropía respecto a la energía interna.

Esta definición presupone que al tomar la derivada, se están manteniendo constantes tanto el volumen como el número de partículas. Esto se puede aplicar a la expresión de la entropía de un gas ideal mono atómico:

Tomar la derivada parcial de esta expresión respecto de U para obtener la temperatura, necesita de un poco de gimnasia con los logaritmos. El uso de la regla para el logaritmo del producto nos permite expresar el logaritmo como ln(U3/2) solo, mas otros términos logarítmicos que no contienen U y por tanto desaparecerán cuando se tome la derivada. Luego recordar que ln(U)3/2=3/2ln(U) y que la derivada de ln(U) es exactamente 1/U.

Esta fórmula de la energía interna, es exactamente la que se obtiene de equiparación de energía. Puesto que la energía interna de un gas mono-atómico es exactamente la energía cinética traslacional de las moléculas, esto está de acuerdo con la temperatura cinética que se mencionó anteriormente, por lo que en este caso las dos definiciones de temperatura son equivalentes.

Ejemplo: De acuerdo con la ley del gas ideal para un gas confinado si P atmósferas es la presión, V litros es el volumen y T grados es la temperatura absoluta en la escala Kelvin, se tiene la fórmula

PV=kt.

Donde k es

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