Derivadas parciales

En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física, matemática, etc.

La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,\ \partial _{x}f,\ f_{x}^{\prime }{\text{ ó }}f_{x}.}{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,\ \partial _{x}f,\ f_{x}^{\prime }{\text{ ó }}f_{x}.}

Donde {\displaystyle \scriptstyle \partial }{\displaystyle \scriptstyle \partial } es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'. También se puede representar como {\displaystyle D_{1}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})}{\displaystyle D_{1}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} que es la primera derivada respecto a la variable {\displaystyle x_{1}}{\displaystyle x_{1}} y así sucesivamente.1​

Cuando una magnitud {\displaystyle A}A es función de diversas variables ({\displaystyle x,y,z,...}{\displaystyle x,y,z,...}), es decir:

{\displaystyle A=f\left(x,y,z,...\right)}{\displaystyle A=f\left(x,y,z,...\right)}

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a dicha función {\displaystyle A}A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada con el eje que representa los valores de la función.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Índice

1 Introducción

2 Ejemplos

3 Definición

4 Notación

4.1 Termodinámica

5 Derivadas parciales de orden superior

6 Véase también

7 Referencias

8 Enlaces externos

Introducción

Supongamos que {\displaystyle \scriptstyle f}\scriptstyle f es una función de más de una variable, es decir una función real de variable vectorial. Para el caso,

{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\,}{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\,}

Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la correspondiente línea tangente es paralela al plano formado por el eje x y la propia función (o z).

Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que más interesan son aquellas que son paralelas al plano del eje x con z, y aquellas que son paralelas al plano del eje y con z.

Este es un corte del gráfico de la derecha donde y = 1.

Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela al plano del eje x con z, tratamos a la variable y como constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico, descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1) que es paralela al plano del eje x con z es tres. Que escribimos:

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