APLICACIÓ DE LES FUNCIONS QUADRÀTIQUES

Borja Romero

APLICACIÓ DE LES FUNCIONS QUADRÀTIQUES

Suposem que una empresa que es dedica a la producció d’automòbils ha pogut determinar la relació que existeix entre la seva producció i els beneficis mitjançant la següent funció, on és la quantitat automòbils produïts i el benefici en € obtingut.[pic 1][pic 2][pic 3]

Suposem que com a màxim pot produir 100 automòbils.

A partir de la informació anterior, determina:

1. El domini de la funció de beneficis en aquest cas.

La funció no té punts no definits ni limitacions de domini. Això significa que el domini d’aquesta funció és: -∞ <x<∞ o x ϵ R

1. El benefici si l’empresa produeix 20 automòbils.

-x²+90x-800=0

x²-90x+800=0

x²-10x-80x+800=0

x·(x-10)-80(x-10)=0

(x-10)·(x-80)=0

x=10

x=80

Si produeix 20 automòbils:

20x=10·20=200

20x=80·20=1600

0[pic 4]

[pic 5]

1. El benefici màxim que pot obtenir l’empresa i la producció on s’assoleix aquest.

Derivada de la funció:

B´(x)= (d/dx) · (-x²+90x-800)

B´(x)= -((d/dx) · (x²))+(d/dx · (90x)) - (d/dx·(800))

B´(x)=-2x + (d/dx·(90x)) - (d/dx·(800))

B´(x)=-2x+90

B´(x)=-2x+90

0= -2x + 90

x=45

B(45)=1225

(-∞, 45) , (45, +∞)

x1=44

x2=46

La producció s’assoleix als 45, com a benefici màxim que pot obtenir és 1225.

1. Entre quins nivells de producció l’empresa obté beneficis.

Entre 10 i 80.

-x²+90x-800=0

x²-90x+800=0

x²-10x-80x+800=0

x·(x-10)-80(x-10)=0

(x-10)·(x-80)=0

x1=10

x2=80

1. El benefici obtingut en cas que no es produís cap automòbil.

Benefici sense produir= -0²+90·0-800

Benefici sense produir=-800

1. Si l’empresa vol obtenir un benefici de 1.000€, quins nivells de producció el permeten obtenir?

Beneficis de producció 10-45

10=0 benefici

45=1225 benefici

45-10=35

1225 benefici/35 producció=35 benefici per producció

1000 benefici/35 benefici per producció=29 producció≈

Necessitarà un nivell 29 de producció aproximadament per obtenir 1.000 euros.

1. Fes la representació gràfica de la funció de beneficis i indica els valors obtinguts en els apartats anteriors en aquesta funció.

[pic 6]

Consideracions a tenir en compte:

• Totes les respostes han de ser raonades. Cal explicar el significat dels valors calculats obtinguts en el context de l’exercici.

• Cal mostrar els càlculs realitzats.

• Podeu lliurar l’activitat en qualsevol format: fotografia (cal que es vegi molt bé), document escanejat, document libreoffice (inserint imatges dels càlculs fets).

• Podeu utilitzar el programari Geogebra per fer la gràfica de la funció, però recordeu que cal veure els càlculs.

...