Algebra Guia Del Examen Final

Matrices

Vienen operaciones de suma resta y multiplicación de matrices.

Calcular la determinante.

Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3

Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:

En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:

Calcular la adjunta.

falta transponerla

Ver apoyo anexo

Calcular la inversa

Usar la regla de cramer en sistema de ecuaciones

Diagonalización

Una matriz A de n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A.

donde λ1, λ2, ….. ,λn son los valores propios de A.

Y los vectores propios se evalúan de:

Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces

D = P-1AP

1.- Determine si la matriz es diagonalizable. En caso afirmativo, encuentre una matriz que diagonalice a y determine

a)

Obtenemos los valores propios, resolviendo

Es una ecuación cuadrática y se sacan sus raíces, dando los valores propios 1=-4 y 2=3

Para cada valor propio se calcula un vector propio

Obteniéndose

Como λ es -4

Reducimos por Gauss ( lo que vimos en los primeros capitulos)

X1=1 y x2=1

Hacemos lo mismo para el vector 2

y

,

Descomposicion QR

El proceso de descomposición QR de una matriz A de tamaño m x n cuyas columnas son linealmente independientes, es el siguiente:

1. Sean las columnas de la matriz A y sea W el subespacio de con como base.

2. Transformar la base para W, a través del proceso de Gram-Schmidt, en una base ortonormal . Sea la matriz Q integrada por los vectores columna .

3. Obtenemos R = , donde =

Ejemplo:

La descomposición de en las matrices Q R es la siguiente:

Los vectores columna de A son: , y . A estos vectores le aplicamos el

procedimiento de Gram-Schmidt para obtener vectores ortonormales.

Los vectores ortonormales que forman las columnas de la matriz Q son:

, y y para obtener la matriz triangular superior R con inversa se calculan los productos interiores en la matriz:

= .

La matriz A entonces quedará como:

= = Q R

Cholesky

Problema:

...