Algebra

INTRODUCCIÓN

Con la presente Investigación, veremos lo que es un Número Complejo, sabremos de donde viene y para que nos sirven, y en que los podremos emplear.

DESARROLLO

Son una extensión de los números reales, cumpliéndose que, los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios cosa que con los reales no era posible.

¿En que consisten los números complejos?

Cada complejo “z” como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

Suma

Multiplicación

Igualdad

Al primer componente (que llamaremos a) se la llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

¿Como se originan los números complejos?

En el siglo XVI Rafaello Bombelli fue uno de los primeros en admitir que era útil que los números negativos tuviesen raíces cuadradas.

A mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos.

En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i (por imaginario).

Euler

Kaspar Wessel dio una explicación a la raíz cuadrada de –1.

Basta suponer un triángulo ABC isósceles en A, situado sobre unos ejes de coordenadas. Aplicando el teorema de la altura.

¿Operaciones con los números complejos?

Suma

Resta

Multiplicación

División

exponentes

Suma

Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios realmente transversales.

Resta

Aunque se opera de la misma manera que en la suma hay que aclarar que se resta la parte real y la parte imaginaria por separado.

Multiplicación

Para multiplicar dos números complejos, se multiplica cada término del primero por los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 términos:

...