Algebra

1. Encuentre una de las soluciones reales de las ecuaciones:

a. (√(2x+3)+√(5-8x))= √(4x+7).

Elevamos al cuadrado en ambos lados de la igualdad (ley uniforme), tenemos:

(√(2x+3) +√(5-8x))2 = (√(4x+7) )2

2x+3 + 2(√(2x+3)) (√(5-8x)) +5-8x = 4x+7

2(√(2x+3)) (√(5-8x)) = 4x + 7+ 8x -5 – 2x - 3 (transposición de términos).

2(√(2x+3)) (√(5-8x)) = 10x -1, (volvemos a elevar a cuadrado para quitar las) raíces.

(2(√(2x+3)) (√(5-8x)))2 = (10x -1)2, binomio al cuadrado y ley de los exponentes.

4 (2x+3) (5 - 8x) = 100 x2 -20x +1

4(-14x -16x2 +15) = 100 x2 -20x +1

-56x – 64x2 + 60 = 100 x2 -20x +1

0 = 164x2 + 36x -59

Para encontrar las raíces, es decir las soluciones aplicamos la fórmula general.

(-b±√(b^2-4ac))/2a

Como el discriminante √(b^2-4ac) es menor que 0, las soluciones con complejas conjugadas.

X = (-36±√(〖36〗^2-4(164)(-59)))/(2(164)) = (-36± √(1296+38704))/328

X = (-36±200)/328 , x= -59/82 y x= ½

b. 3x (x + 2) + x = 2x (x + 10) + 5 (x – 10) – 27, destruimos signos de agrupación.

3x2 + 6x +x = 2x2 + 20x + 5x -50 -27, transponemos términos, igualando a 0.

x2 -18x +77 = 0, (x-11)(x-7)= 0 , x=11, -7

2) Resuelva los siguientes problemas y halle el conjunto solución:

La diferencia de los cuadrados de (5 + 7x) y (1 – 8x) vale 79. Hallar el valor de x.

(5+7x)2 – (1-8x)2 = 79

25 +70x + 49x2 – (1- 16x +64x2) = 79

25 +70x + 49x2 – 1+ 16x -64x2 = 79, transposición de términos, (ley uniforme)

0 = 15x2 - 86x + 55

0= (15x-11)(x – 5), x= 11/15, x = 5.

b) Cuál es el valor conveniente para “b”, tal que la ecuación x2 – bx + 24 = 0 y que una de las raíces sea 6.

Por el teorema del factor (x- 6) es un factor de x2 + bx +24 =0

Dividiendo el polinomio en este factor tendríamos el otro factor, pero por facilidad lo resolvemos por los paréntesis, es decir.

X2 – bx + 24 = 0

(x - 6)(x- r)= 0, o sea, - 6 + r = b y 6r = 24, r = - 4

(x -6) (x – 4) = 0

X2 -10x +24 = 0, con lo cual b = 10

3) Resuelva las siguientes inecuaciones y halle el conjunto solución:

5/6 (3-x) – ½ (x-4) ≥ 1/3 (2x-3) – x , destruimos signos de agrupación.

5(3-x)/6 - ((x-4))/2 ≥ (2x - 3 x -3x)/3, transposición de términos.

(15-5x-3x+12)/6 ≥ (-x-3)/3

27 -8x ≥ -2x-3

33/6≥6x 11/2≥x ⇿ x≤11/2 ⇿(-∞,11/2]

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