Algebra.Matriz Inversa

[pic 1]

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL[pic 2][pic 3]

ÁLGEBRA LINEAL • SEMANA  04 CLASE  02

Semestre 2021-B        Departamento de Formación Básica[pic 4][pic 5]

2. SISTEMAS DE ECUACIONES

[pic 6]

1. Matriz Inversa

[pic 7][pic 8]

EJEMPLO 1. Sean A ∈ Kn×n una matriz no singular y sean x, b ∈ Kn×1. Si Ax = b, entonces x = A−1b.

Solución. Por hipótesis sobre A se tiene que A−1 existe, entonces

Ax = b ⇐⇒ A−1(Ax) = A−1b        Multiplicando A−1 en ambos lados

⇐⇒ (A−1 A)x = A−1b        Propiedad asociativa

⇐⇒ Inx = A−1b        Definición de matriz inversa

⇐⇒ x = A−1b        Multiplicación por la matriz identidad[pic 9]

EJERCICIO 1. Sean A ∈ Kn×n una matriz no singular y sean x, b ∈ Kn×1. Si

x⊺ A2 + b⊺ A = 0, entonces x⊺ = −b⊺ A−1.

[pic 10]

[pic 11]

EJEMPLO 2. Sean A, X ∈ Kn×n matrices no singulares. Si AA⊺X−1 = A entonces

X = A⊺.

Solución. Supongamos que A y X son matrices no singulares y que AA⊺X−1 = A, vamos a mostrar que X = A⊺. Se tiene que

AA⊺X−1 = A ⇒ A−1(AA⊺X−1) = A−1 A        Multiplicando por A−1 en

ambos lados

⇒ (A−1 A)(A⊺X−1) = A−1 A        Propiedad asociativa

⇒ A⊺X−1 = In        Definición de matriz inversa

⇒ ((A⊺)−1 A⊺)X−1 = (A⊺)−1 In        Multiplicando por (A⊺)−1 en

ambos lados y propiedad asociativa

⇒ X−1 = (A⊺)−1        Definición de matriz inversa

⇒ X = A⊺        Teorema 2[pic 12]

EJERCICIO 2. Sean A, X ∈ Kn×n matrices no singulares tales que (A⊺)−1 + X−1

es no singular. Si 2((A⊺)−1 + X−1)−1 = A⊺, entonces X = A⊺.

[pic 13][pic 14]

EJEMPLO 3. Sean A, B ∈ Kn×n tales que AB = In, entonces B2 A2 = In.

Solución. Supongamos que A, B ∈ Kn×n son tales que AB = In, se tiene que

...