Matriz Inversa

MATRIZ INVERSA

OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS:

 Sobre una matriz se pueden realizar tres tipos de operaciones muy importantes que preservan ciertas características de la matriz y que permiten obtener información útil a la hora de resolver ecuaciones, como veremos más adelante.

Las operaciones elementales por filas son:

1) Intercambio de dos filas.

2) Multiplicación de una fila por una constante no nula.

3) Adición a una fila de una constante por otra fila.

Ejemplos

Sea A =

1) Si en A intercambiamos la 1ª fila con la 3ª fila obtenemos B=

1) Si en A multiplicamos la 2ª fila por 3 obtenemos C=

2) Si multiplicamos la 1ªfila de A por 2 y se la sumamos a la 3ª fila obtenemos D=

Las matrices obtenidas no son iguales a la matriz A pero si son equivalentes por filas a la matriz A.

Formalmente:

 Dos matrices se dicen equivalentes por filas si una se obtiene a partir de la otra, a través de una cantidad finita de operaciones elementales por filas.

Se simboliza A  B

En el ejemplo anterior A  B ; A C ; A  D

Se puede demostrar que esta relación de equivalencia es transitiva, es decir

Si A  B y B  C entonces A  C

Si las operaciones elementales se efectúan sobre una matriz identidad la matriz reultante recibe el nombre de matriz elemental. Diremos entonces que:

 Una matriz elemental es aquella que surge de la matriz identidad a partir de una operación elemental por filas.

Aquí presentamos algunos ejemplos:

Partiendo de la identidad de orden 3 I3 =

1) Intercambiando 2ª con 3ª obtenemos la matriz elemental E1=

2) Multiplicando la 2ª fila por (–2 ) obtenemos la matriz elemental E2=

3)Sumando a la 1ª fila de la I, la 2ª fila previamente multiplicada por (–2) obtenemos la matriz elemental E3=

Propiedad fundamental de las matrices elementales:

Si se realiza una operación elemental sobre una matriz Amxn, obteniendo una matriz Cmxn y se realiza la misma operación elemental sobre la matriz identidad de orden m (I) obteniendo una matriz E de orden m entonces E.A = C.

Esta propiedad servirá para justificar uno de los métodos para obtener lo que se conoce con el nombre de matriz inversa.

Matriz inversa:

 Sea A una matriz cuadrada tal que existe una matriz B que cumple que A.B=B.A=I, entonces diremos que A es inversible y que B es la matriz inversa de A.

La matriz inversa se simboliza A-1

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