Algebraica

Álgebra

Al Juarismi (siglo IX d.C.).

Considerado el «padre del álgebra».

Álgebra (del árabe: «al-jebr») es la rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. Puede definirse como la generalización y extensión de la aritmética.1 2

A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen, además, letras, para representar variables o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general. 3

Índice [ocultar]

1 Etimología

2 Álgebra elemental

3 Historia

4 Notación algebraica

5 Signos del Álgebra

5.1 Signos de operación

5.2 Signos de relación

5.3 Signos de agrupación

5.4 Signos y símbolos más comunes

6 Lenguaje Algebraico

7 Estructura algebraica

8 Véase también

9 Referencias

10 Bibliografía

11 Enlaces externos

Etimología

La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático y astrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (en árabe «كتاب الجبر والمقابلة», Compendio de cálculo por compleción y comparación), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.

Álgebra elemental

Artículo principal: Álgebra elemental.

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde sólo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, c, x, y, z). Esto es útil porque:

Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.

Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.

Permite la formulación de relaciones Funcionales.

Historia

Página del libro Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala, de Al-Juarismi.

Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica,4 que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el arte matemático.

Para la época de Platón, en la Antigua Grecia, las matemáticas habían sufrido una importante transformación. Los matemáticos helénicos crearon un álgebra de tipo geometrico, en donde los términos eran representados por lados de objetos geométricos, por lo general líneas, a las cuales asociaban letras.5 Diofanto (siglo III d.C.), algunas veces llamado «el pádre del álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas.6

Las mentes griegas matemáticas de Alejandría y Diofanto siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, pero el libro Arithmetica de Diophantus está en un nivel mucho más alto. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque los babilonios y Diophantus utilizaron sobre todo los métodos especiales ad hoc para resolver ecuaciones, Al-Khwarizmi fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado de ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, الجبر" en el título del libro al-Kitab al-muḫtaṣar fi al-Gabr ḥisāb wa-l-muqābala, الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī, en 820. La palabra Al-Jabr significa "reducción". Para ciertos autores Al-Khwārizmī es el "padre del álgebra", aunque otros reservan este título al matemático helenístico Diophantus. Los que apoyan a Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra que se encuentra en Al-Jabr es algo más elemental que el que se encuentra en el álgebra Arithmetica y que Arithmetica es sincopada mientras que Al-Jabr es totalmente retórica. Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi se basan en el hecho de que presenta los métodos de "reducción" y "equilibrio" (la transposición de términos restará al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos a ambos lados de la ecuación), al cual el término Al-Jabr se refería originalmente, y que dio una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, apoyada por las pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como una disciplina independiente en su propio derecho. Su álgebra ya tampoco trataría "con una serie de los problemas por resolver", sino con una "exposición que empieza con lo primitivo en el que las combinaciones deben dar todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante explícitamente constituyen el verdadero objeto de estudio". También estudió una ecuación para su propio bien y "de forma genérica, en la medida que no sólo surgen en el curso de la solución de un problema, sino que específicamente en la llamada para definir una infinidad de problemas de clase".[cita requerida]

El matemático persa Omar Khayyam desarrolló la geometría algebraica y encontró la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, encontró la solución numérica y algebraica a diversos casos de ecuaciones cúbicas; también desarrolló el concepto de función. Los matemáticos indios Mahavirá y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, y el matemático chino Zhu Shijie, resolvieron varios casos de

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