Algoritmo de eliminación Gaussiana

Algoritmo de eliminación Gaussiana

Generalidades

Lo que se quiere realizar con este método es encontrar una manera más fácil de resolver ecuaciones de la forma Ax=B- Este método transforma el sistema original en un sistema lineal equivalente en el que se tenga una matriz triangular superior que es más simple de resolver que la original; esto se debe a que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Este proceso también es llamado sustitución hacia atrás. Para hacer un pequeño ejemplo, se tendrán las siguientes matrices

[pic 1]

Método X=a^(-1)*B vs  Método Eliminación Gaussiana:Validación

Si se resolviera el sistema Ax=B mediante la función vista el laboratorio pasado (linsolve()) y se realizara con el método de eliminación gaussiana, se encontraría que la respuesta Xmayuscula y xminuscula daría respectivamente de la siguiente forma:

 [pic 2][pic 3]

Se puede observar que las respuestas, con ambos métodos, son exactamente las mismas, pero la idea es observar el grado de validez que tiene el método de eliminación gaussiana para diferentes n, donde n=dimensión del sistema a resolver (matricialmente). Es por eso que se diseño, en matlab, un script que determinará un error para cada n matrices implemetandas. Para esto se tiene en cuenta el script del sistema que se debe implementar para la generación de las matrices A y B.

[pic 4]

Para la generación en matlaba de este sistema, se implementó el siguiente código:

[pic 5]

1. Script generador de matrices

Para generar la gráfica de error, se cogió el vector de x resultante de la eliminación gaussiana y se le resto el valor teórico de x que debería dar.

Para n = 10 se obtuvo la siguiente gráfica

[pic 6]

Al realizar de la gráfica obtenida podemos observar que para n muy grandes, el error relativo del método de eliminación gaussiana es cada vez mas grande, lo que indica que el método puede ser impresiso para un n muy grande. Teniendo en cuenta las funciones “Single” y “long”, se concluye que el error va a variar entre éstas, debido a que la funcíon “Single” coge menos bits de representación que la función “long”; por esto, el error es más grande utilizando el “single” que el “long”

Aplicación: Circuito

Las matrices que resultaron para resolver el circuito propuesto son las siguientes:

[pic 7]

Al introducir estas ecuaciones, nos da la siguiente solución:

[pic 8]

Ya obtenidos estos resultados, se obtienen los valores de cada una de las corrientes dadas.

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

El script implementado para el desarrollo de ésta solución, fue la siguiente:

[pic 16]

1. Script solución del Circuito

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