Eliminacion Gaussiana

ELIMINACION GAUSSIANA

En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:

Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:

Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:

sumadolas resulta

La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:

Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.

Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:

En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá:

Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.

Por otra parte, si se suma un múltiplo de una ecuación a otra ecuación del mismo sistema, el resultado es otra ecuación válida. Por último, si se intercambian dos ecuaciones de un sistema, lo que se obtiene es un sistema equivalente. Estas tres operaciones, cuando se aplican a los renglones de una matriz aumentada, que representa un sistema de ecuaciones, recibe el nombre de operaciones elementales de renglón.

Operaciones elementales de renglón

a) Multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero.

b) Sumar el múltiplo de otro renglón a otro renglón.

c) intercambiar dos renglones

Hasta aquí hemos supuesto una situación idealmente simple en la que ningún pivote (o coeficiente diagonal), , se convierte en cero. Si cualqluier pivote se vuelve cero en el proceso de resolución, la eliminación hacia adelante no procederá.

El pivoteo consiste en intercambiar el orden de las ecuaciones de modo que el coeficiente del pivote, , tenga la magnitud (en valor absoluto) mayor que cualquier otro coeficiente que esté debajo de él en la misma columna y que por tanto vaya a ser eliminado. Esto se repite con cada pivote hasta completar la eliminación hacia adelante.

METODO DE JACOBI

En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo . El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente:

donde

, es una matriz diagonal.

, es una matriz triangular inferior.

, es una matriz triangular superior.

Partiendo de , podemos reescribir dicha ecuación como:

Luego,

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

donde es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobreescribir xi(k) con xi(k+1), ya que su valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.

METODO DE GAUSS-SEIDEL

Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:

donde:

El método de iteración Gauss-Seidel se computa, para la iteración :

donde

definimos

y

,

donde los coeficientes de la matriz N se definen como si , si .

Considerando el sistema con la condición de que . Entonces podemos escribir la fórmula de iteración del método

(*)

La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones.

INTERPOLACION LINEAL

La interpolación lineal es una caso particular de la interpolación general de Newton.

Con el polinomio de interpolación de Newton se logra aproximar un valor de la función f(x) en un valor desconocido de x. El caso particular, para que una interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio de interpolación de grado 1, y se denota de la siguiente manera:

En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el más próximo al buscado, o aproximarnos un poco más por interpolación, la interpolación casi siempre nos dará un pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla, veamos como

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