ELIMINACION GUSSIAN.

Eliminación Gaussiana.

Consiste en formar la matriz aumentada con los coeficientes de las variables y a la derecha los términos independientes en forma correspondiente. Luego se transforma la matriz aumentada en su equivalente escalonada (triangular superior) mediante operaciones entre filas o renglones (F); lo que se conoce como eliminación. La matriz escalonada triangular superior solo contiene elementos en la diagonal principal y arriba de ella; debajo de ella solo debe haber ceros.

En el proceso de eliminación Gaussiana se usa la siguiente notación para describir o representar una operación elemental entre filas o renglones.

Ejemplo: 2F1 + F3: F3 significa que la nueva fila o renglón 3 es el resultado de multiplicar por dos l afila uno (2F1) y sumarlo con la anterior fila tres (F3). Esto se hace con el fin de cambiar cualquier elemento debajo de la diagonal principal por el cero.

Ejemplo.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones usando eliminación gaussiana.

[pic 1]  Solución: Formamos la matriz aumentada [pic 2][pic 3] 

Los elementos debajo de la diagonal principal (en la primera columna 3 y -2, y en la segunda columna el 3) deben   transformarse en ceros mediante operaciones elementales entre filas o renglones. (Suma, multiplicación, división, etc.).  Ver video anexo.

[pic 4]  [pic 5]  [pic 6] [pic 7] [pic 8]

[pic 9] Sustituyendo hacia atrás.  [pic 10]; [pic 11] 

[pic 12] 

Solución [pic 13] 

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.

a)[pic 14]       b) [pic 15]     c) [pic 16]      d) [pic 17] 

Problemas.

1.  En una alcancía hay 7.2 usd en monedas de 5, 10 y 25 centavos. Si hay un total de 72 monedas y se sabe que las de  10 son el doble que las de 25. ¿Cuántas monedas hay de cada denominación?

2. Un número de tres cifras es igual a 31 veces la suma de sus dígitos. Al invertir los tres dígitos, se obtiene un número que excede en 99 al original. La suma de la cifra de las unidades y las centenas excede en tres a la cifra de las decenas. Hallar el número.

3. Un químico tiene tres soluciones que contienen un 10%, 30% y 50%, respectivamente, de cierto ácido; desea mezclar las tres soluciones, usando el doble de la solución al 50% respecto de la dela del 30%, para obtener 50 litros de una solución que contenga un 32% del ácido. ¿Cuántos litros de cada solución deberá usar?

4. Piscina puede ser llenada con tres tuberías A, B y C. La  tubería A tarda 8 horas en llenar la piscina. Este mismo trabajo tarda 6 horas si se emplean A y C simultáneamente, y en 10 horas si  B y C funcionan conjuntamente. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse la piscina si se usan las tres tuberías?

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