Algoritmos

INSTITUTO TECNOLOGICO DE PUEBLA

Materia: Algebra Lineal

Profesor: Javier Morales Hernandez

Tema Principal: Números Complejos

Subtemas: *Definición y origen de los números complejos.

*Operaciones fundamentales

*Potencias de “i”

Unidad: 1

Integrantes Numero De Control

Nieva Saldaña Irais

Osorio Hernández Héctor David 13220983

Ramirez Hernandez Aaron

Escobar Martínez Antonio de Jesús 12220809

OBJETIVOS

Desarrollar las capacidades analíticas y el pensamiento lógico riguroso a través del estudio del álgebra lineal. Asimilar o manejar con fluidez los principales conceptos del álgebra lineal: espacios vectoriales, aplicaciones lineales, matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones.

Un primer curso de álgebra lineal sirve para que el alumno adquiera cierta capacidad de abstracción y de formalización de las ideas matemáticas, en un contexto donde los razonamientos lógicos encadenados son sencillos. También le sirven para adquirir el conocimiento de conceptos y técnicas de cálculo importante, potente y de amplia utilización en diferentes partes de las matemáticas y de las ciencias, tanto

puras como aplicadas.

Números Complejos

Definición de un número complejo

Los números complejos z se pueden definir como pares ordenados.

z = (x, yi)

De números reales x e y, con las operaciones de suma y producto que especificaremos más adelante. Se suelen identificar los pares (x, 0) con los números reales x.

Raíz de una ecuación:

Es igual al valor de la variable que al sustituirla en la ecuación original esta se hace cero.

f(x)=x^2+2x+5=0

x=(-1+2i)

f(-1+2)= x^2+2x+5=0

Como no todos los problemas pueden resolverse con números reales, se aprendió que era posible calcular la raíz cúbica de —1 o de —8.

Sabemos por ejemplo, que la raíz cúbica de -1 es igual a -1.

Simplemente porque (ahora al revés) (—1)3 = —1.

Igualmente, la raíz cúbica de -8 es igual a -2, porque (—2)3 = —8.

Hasta acá todo bien, pero que pasa cuando se quería obtener, por ejemplo, la raíz cuadrada de -4, ¿cuánto es?....si probamos con 2 no puede ser porque 22 = 4, y si probamos con -2, tampoco es porque (-2)2=4, también da 4.

Como se observa es imposible obtener un valor para una raíz de índice par, en este caso 2 (cuadrada), de un numero negativo, entonces frente a este inconveniente, se inventaron los números complejos.

El símbolo que se utiliza para simbolizarlos es la letra (i), de imaginarios, porque son números que no se pueden representar en las coordenadas reales como hacemos habitualmente.

Entonces para el ejemplo anterior, en donde se desea obtener, la raíz cuadrada de -4, la respuesta es: 2i de tal manera que si hacemos al revés, es decir, 2i. 2i = 4. i2= 4. (-1)=-4, valor correcto

Def. 1. Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo.

Def. 2. Un numero complejo es todo aquel de la forma a + i b, donde”i” es la unidad imaginaria y a, b dos números reales cualesquiera.

Origen de los Números Complejos.

Las primeras señales del uso y estudio de los números complejos provienen desde la época de los antiguos griegos, en especial uno de ellos conocido como Herón de Alejandría, este hombre que se destacó como ingeniero y matemático helenista, había realizado varias invenciones dentro del campo de la ingeniería y la mecánica, pero en su rol como matemático, realizo estudios de en geometría y en estudios para determinar tamaños y dimensiones del planeta Tierra. Pero en lo que respecta a los números complejos, Herón también es conocido por haber sido el primer matemático en dar con la raíz cuadrada de un número negativo allá por el año 50 d.C. (aproximadamente), este resultado junto con otros estudios y teorías fueron publicados en su tratado llamado La Métrica.

Mahavira, alrededor del año 850, comenta en su tratado de los números negativos que “como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener raízcuadrada”. Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma:

El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de

Unnúmero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz

Cuadrada de un número negativo ya que un número negativo no es un cuadrado.

En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matemático, físico y filósofo italiano, publica

”Ars Magna” (El Gran Arte) en el cual describe un método para resolver ecuaciones algebraicas degrado tres y cuatro. Esta obra se convertíaasí en el mayor tratado de ´algebra desde los Babilónicos,

3000 años antes, que dedujeron como resolver la ecuacióncuadrática.

Rene Descartes (Francia, 1596-1650), que bautizo con el nombre de imaginarios a los nuevos números, apunto también que toda ecuacióndebía tener tantas raíces como indica su grado, aunque números no reales podrían ser alguna de ellas.

Leonhard Euler (Suiza 1707-1783) con su identidad eπi = −1. El expresaba los siguientes terminos

Carl Friedrich Gauss (Alemania, 1777-1856), en cuya tesis doctoral (1797) se

Daba la primera prueba correcta del teorema fundamental del ´algebra, apunto a finales de 1825 que “la verdad metafísica de √−1 es elusiva”

Operaciones Basicas Del Algebra

LAS OPERACIONES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA SON:

SUMA: consiste en obtener el número total de elementos a partir de 2 o más cantidades.

A+B=C

RESTA: operación inversa de la suma. Si ambos números tienen signos iguales se suma y permanece el signo, en caso contrario al mayor se le resta el menor y prevalece el signo del número mayor.

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