Anáilisis Límites, continuidad y derivadas

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Análisis de temas

matemáticos Límites, continuidad y derivadas

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El presente trabajo es un análisis de tres temas importantes en el estudio del Cálculo. Está estructurado de una manera en la que se presenta el tema, con definiciones y estas a su vez son apoyadas con ejemplos gráficos. La comprensión del trabajo puede presentar dificultades para aquellos que no hayan estudiado previamente Fundamentos del cálculo.

Contenido

Limites ................................................................................................................................................. 2 Límite de una función.......................................................................................................................... 4 Definición: ....................................................................................................................................... 4 Limites laterales .................................................................................................................................. 5 Límites al infinito ................................................................................................................................. 6 Definición. ....................................................................................................................................... 6 ¿Cómo se ve una función con límites al infinito que existen? ........................................................ 8 Limites infinitos al infinito ............................................................................................................... 9 Continuidad ....................................................................................................................................... 10 Propiedades de las funciones continuas. ...................................................................................... 11 Teorema del valor intermedio ...................................................................................................... 11 Derivadas........................................................................................................................................... 12 ¿Geométricamente como se ve la derivada de una función?....................................................... 12 Otras notaciones para le derivada ............................................................................................... 13 Teorema ........................................................................................................................................ 13 Reglas de derivación..................................................................................................................... 14

• Derivada de una función constante. ................................................................................. 14  
• Derivada de una función lineal.......................................................................................... 14  
• Derivada de una función cuadrática ................................................................................. 14  
• Derivada de una función cúbica ........................................................................................ 14  
• Derivada de una potencia n-ésima (n positivo) ................................................................ 14  
• ¿Si n es negativo? .............................................................................................................. 14 Derivadas de funciones exponenciales ......................................................................................... 15 Reglas de derivación de un producto y un cociente de funciones.............................................. 15 Derivadas de funciones trigonométricas ..................................................................................... 16 Derivaciones de funciones trigonométricas inversas.................................................................. 16 Derivación por regla de la cadena................................................................................................ 17 Derivadas de funciones logarítmicas y derivación logarítmica................................................... 17 Metodología. ............................................................................................................................. 17 FUENTES DE INFORMACION......................................................................................................... 18  

Eduardo Lobato Flores

Limites

Una situación para plantear que es un límite es la siguiente:

Imagina que vas corriendo en una pesadilla hacia una puerta, decides abrirla para seguir huyendo. Te das cuenta que cada vez te acercas más pero no lograr tocar la chapa. Corres para alcanzarlo pero siempre hay un espacio entre tu mano y la chapa; no importa cuánto te acerques. A esa pesadilla se le llama matemáticamente “limites”.

Los límites se pueden generar de dos maneras principales:

•                 ∙ •Al intentar hallar la tangente a una curva.  
•                 ∙ •Al determinar la velocidad de un objeto. Para ejemplificar lo anterior se planteara el siguiente ejercicio: Obtengamos la pendiente de tal recta a la curva x2 en el punto (1,1)  m=y2−y1 =x2−1 x−x x−1  

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Si x=1.5

2 (1.5) −1

m= 1.5−1 =2.5 Si x=1.1

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2 (1.1) −1

m = 1.1−1 = 2.1

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Eduardo Lobato Flores

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Conforme se acerca cada vez más a x=1 la pendiente de la recta se acerca a 2.

Se puede concluir que el límite de las pendientes rectas secantes es la pendiente de la recta tangente:

Si x=0.5

m=(0.5)2 −1=1.5 0.5−1

Si x=0.99

m=(0.99)2 −1=1.99 0.99−1

Si x=1.01

m = (1.01)2 −1 = 2.01 1.01−1

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