Analisis A Priori, Artigues

Análisis a Priori

Estrategias

Experta

Estrategia Nº1: Utilizando razones trigonométricas:

Sabemos que (DJ) ̅ es el lado de la base de la caja, como se trata de una caja de base cuadrada, tenemos que (DJ) ̅=(AC) ̅. El Δ(ABC) es rectángulo en B podemos y utilizando razones trigonométricas en Δ(ABC) tenemos que:

sin⁡〖45°=x/(AC) ̅ 〗⇔√2/2=x/(AC) ̅ ⇔√2 (AC) ̅=2x □(⇔(AC) ̅=2x/√2)

Racionalizando obtenemos:

(AC) ̅=2x/√2∙√2/√2 □(⇔(AC) ̅=(2x√2)/2 □(⇔(AC) ̅=x√2) )

Así hemos encontrado el largo y el ancho de la caja.

Veamos ahora el Δ(DCG), rectángulo en D, como ∢(ACB)=45° y ∢(ACD)=90°, entonces por suplemento de ángulos tenemos que ∢(GCD)=45°. Entonces el Δ(CGD) es un rectángulo isósceles y sus catetos miden h. Utilizando nuevamente rezones trigonométricas obtenemos:

sin⁡〖45°=h/(13-2x)〗

⇔√2/2=h/(13-2x)

⇔2h=√2(13-2x)

⇔h=√2/2 (13-2x)

Así la función que determina el volumen de la caja es: v(x)=x√x×x√x×√2/2 (13-2x)

Otras vías correctas

Estrategia Nº2 : Utilizando el Teorema de Pitágoras:

Usando el teorema de Pitágoras en el Δ(ABC) tenemos:

〖((AC) ̅)〗^2=x^2+x^2 〖⇔((AC) ̅)〗^2=2x^2 ⇔(AC) ̅=x√2

Así hemos encontrado el largo y el ancho de la caja.

Veamos ahora el Δ(CDG), rectángulo en D. Como el Δ(ABC) es rectángulo isósceles, entonces el ∢(ACB)=45° y ∢(ACD) rectángulo en C, pues corresponde a una esquina de la caja, luego por sumplemento de ángulos, ∢(GCD)=45°, por suma de ángulso interiores ∢(DGC)=45°, luego el Δ(CDG) es rectángulo isósceles. Además (BH) ̅=13 y como (BC) ̅=x, entonces (GH) ̅=x. Luego (CG) ̅=13-2x y utilizando el teorema de Pitágoras tenemos:

〖(13-2x)〗^2=h^2+h^2 □(⇔〖(13-2x)〗^2=2h^2 )⇔h^2=〖(13-2x)〗^2/2 ⇔h=((13-2x))/√2

Racionalizando tenemos:

h=((13-2x))/√2∙√2/√2⇔h=√2/2(13-2x)

Luego la función que determina el volumes esta dada por: v(x)=x√x∙x√x∙√2/2 (13-2x)

Estrategia Nº3: Utilizando el Teorema de Thales:

Trazamos las diagonales de la lámina cuadrada de lado 13cm. Llamamos S al punto que queda sin nombre en la lámina y nombramos como O al punto de interseción entre la diagonal (BS) ̅ y el segmento (AC) ̅. Y Sea T el punto de intersección entra las diagonales del cuadrado (BKHS) y M el punto de intersección entre la diagonal (BS) ̅ y el segmento (IG) ̅. Utilizando el teorema de Pitágoras, calculamos el valor de la la diagonal (KH) ̅:

(KH) ̅^2=〖13〗^3+〖13〗^3 □(⇔(KH) ̅^2 )=169+169⇔(KH) ̅^2=2∙169 ⇔(KH) ̅=13√2

Luego como (AC) ̅//(KH) ̅ y utililizando el teorema de Thales en el Δ(KTH) tenemos que:

x/(OC) ̅ =13/(HT) ̅ ⇔x/(OC) ̅ =13/((13√2)/2)⇔x/(OC) ̅ =(2∙13)/(13√2)⇔x/(OC) ̅ =2/√2⇔2(OC) ̅=x√2⇔(OC) ̅=(x√2)/2

Entonces (AC) ̅=2(OC) ̅□(⇔(AC) ̅ )=2∙(x√2)/2⇔(AC) ̅=x√2

Ahora para encontrar h, utilizaremos el teorema de Thales nuevamente en el Δ(BMG)

x/((√2 x)/2)=(13-x)/(MG) ̅ ⇔2x/(√2 x)=(13-x)/(MG) ̅ ⇔2(MG) ̅=√2 (13-x)⇔(MG) ̅=√2/2 (13-x)

Luego h=(MG) ̅-(OC) ̅⇔h=√2/2 (13-x)-√2/2 x□(⇔h=√2/2) [(13-x)-x]⇔h=√2/2(13-2x)

Asi la función que determina el volumen de la caja esta dada por: v(x)=x√x∙x√x∙√2/2 (13-2x)

Erradas

Estrategia Nº4:Sea x altura de la caja, como se indica en el diagrama de la derecha, llevándolo al diagrama de la caja extendida, tenemos: x=(CD) ̅

Como se trata de la misma distancia, trasladamos la medida del segmento de recta a (DG) ̅, luego como se forma un ángulo recto en el ∢CDG , podemos usar teorema de Pitágoras para calcular la medida de (CG) ̅ :

(CG) ̅^2=x^2+x^2=2x^2 ⇔(CG) ̅=√(2x^2 )=x√2

Como se conoce la medida de (BH) ̅, entonces se puede conocer cuánto es la medida del segmento (BH) ̅-(CG) ̅ , para así conocer el valor de (BC) ̅ , por la simetría del dibujo. Al igual que en el caso anterior, usando el Teorema de Pitágoras, podemos conocer el valor de (AC.) ̅

(AC) ̅^2=(x√2)^2+(x√2)^2=2(x√2)^2=4x^2 ⇔(AC) ̅=√(4x^2 )=2x

Lo que corresponde los lados de la base, entonces podemos calcular el volumen de la caja, dependiendo de x, resultando:

V(x)=2x∙2x∙x=4x^3

Estrategia Nº5: Tenemos que el área del cuadrilátero de lado 13 cms es igual a 169 cms2. Por otro lado tenemos que A_∆ABC=x^2/2 y A_∆CDG=(13-2x)/√2. Por lo que, el volumen de la caja será: V(x)=169-4∙A_∆ABC-4∙A_∆CDG=169-4∙x^2/2-4∙(13-2x)/√2=169-2x^2-4(13-2x)/√2.

(En este caso vemos un error en el concepto de volumen de un poliedro ya que se confunde el concepto de área con el concepto de volumen.)

Dificultades

Redacción del problema, es una dificultad pues el nulo uso de puntuación dificulta la comprensión del problema, pues un alumno que no entiende qué se le pregunta claramente no va a desarrollar la actividad completamente, o va a tener una comprensión superficial del problema, dándole importancia solo a algunas partes y perdiendo el foco de lo que se le pregunta. Además no permite hacer una buena comprensión de lo que se presenta como hipótesis y tesis para la resolución del problema.

Correspondencia del valor de x. Para la figura de la caja en tres dimensiones (sea, la figura derecha del problema) se considera un valor x, asociado a uno de los lados, pero no se especifica claramente al qué lado corresponde. Además, no hace referencia a si corresponde al mismo valor para el dibujo de la caja extendida (sea, la figura izquierda del problema), es decir, las distancias AB y BE.

Correspondencia del punto E. Es dificultad pues no se especifica si es un punto cualquiera del segmento BH, o corresponde al punto medio del segmento de recta. Lo que desencadena en asumir hipótesis de la actividad que no se especifican bien y puedan llevar a errores.

Uso de ennegrecimiento de rectas. En el diagrama izquierdo los segmentos AB y BC aparecen marcados, en relación a las demás rectas, además de estar rotulados con la letra x, por lo que aparece como dificultad al nuevamente no indicar expresamente que significa, pues cumple la función de ser un control sobre la acción a seguir del alumno, pero una malinterpretación puede llevar a un error.

Conocimientos

Para la solución del problema, nos enfocamos en trigonometría, lo que por programa de estudio según los planes y programas del Ministerio de Educación corresponde

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