Análisis Matemático 2 - Final De 01/03/2013

Análisis Matemático 2 - Final de 01/03/2013

Los que tomaban eran Farinati, Caranto y Armentano.

1) a)Siendo F:R3R3 un campo C1, probar las equivalencias de campos conservativos.

b) Sea Ω: {(x, y, z) ϵ R3; (x, y) ≠(0,0)} (es decir, Ω es R3 menos el eje z) ¿ Vale alguna de las implicaciones anteriores si cambiamos F : R3 R3 por F : Ω R3 ?

2) ¿Cómo se define la integral de ∫s f ds de un campo escalar f sobre una superficie (regular) S C R3.

Definiendo el área S como ∫s 1ds muestre que, para λ ϵ R+ ; S λ es la superficie expandida en factor λ; es decir; S λ:= { (λx, λy, λz) ; (x, y, z) ϵ S}; entonces:

Área (Sλ) = (factor dependiente de λ) x Área (S)

(Además de adivinar el factor, demuestre su aseveración)

3) ¿Qué significa que una función F:R3 R3, sea Lipschitz – continua?

Sea F:R3R3un campo Lipschitz – continuo y consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales

(x’(t), y’(t), z’(t)) = F (x(t), y(t), z(t))

Consideramos a su vez dos soluciones de la ecuación anterior:

σ1 (t) = (x1 (t), y1(t), z1(t))

σ2(t) = (x2 (t), y2(t), z2(t))

Muestre que si estas dos se cortan, entonces coinciden, o mas precisamente

a) Si existe t0 ϵ R tal que σ1 (t0) = σ2(t0), entonces σ1 (t) = σ2 (t) para todo t ϵ R.

b) Si existen t1 y t2 ϵ R tal que σ1 (t1) = σ2 (t2); entonces existe τ0ϵ R tal que σ1 (t) = σ2 (t + τ0) para todo t ϵ R.

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