Arquímedes y la cuadratura de la parábola

Arquímedes y la cuadratura de la parábola

Arquímedes es, sin duda, uno de los científicos más conocidos en la Historia de la Cultura, ya no sólo porque su nombre está asociado al célebre Principio de la Hidrostática que lleva su nombre, sino también por ser uno de los creadores de la Estática, que es el primer embrión de la Mecánica Racional. En el ámbito de la Matemática se le considera el más ilustre de los Matemáticos griegos, por haber encontrado y demostrado muchas de las fórmulas geométricas que no figuraban en Los Elementos de Euclides, como expresiones equivalentes a la longitud y área del círculo, superficie y volumen de la esfera, conos y cilindros, así como volúmenes de otras cuádricas de revolución. Si Euclides es el gran maestro, Arquímedes es el investigador por antonomasia, que, aunque se atiene al estándar geométrico euclídeo establecido para la exposición, a base de fijar con antelación las hipótesis que postula, previo a la demostración cuidadosamente rigurosa de las proposiciones que enuncia, tiene una actuación matemática que enlaza más directamente con el genio creador del siglo IV a.C. representado por Eudoxo, ya que el propósito fundamental de Arquímedes no es de índole metodológica, como el caso de Euclides, sino el aporte de nuevos resultados, la magnificación del acervo matemático. Por eso sus escritos son verdaderas memorias científicas originales en las que se da por sabido todo lo descubierto con anterioridad.[pic 1]

        Arquímedes afrontaba y resolvía problemas que iban más allá de la Geometría tradicional, y lo hacía sin el rigor suntuoso de sus colegas alejandrinos, aplicando a las cuestiones geométricas razonamientos análogos a los empleados en las cuestiones mecánicas. En los contenidos trascendió de forma considerable Los Elementos de Euclides. Así, por ejemplo, consiguió obtener la primera cuadratura de la parábola, comunicando a los científicos de Alejandría el procedimiento mecánico del que se sirvió para descubrir el resultado, así como la demostración rigurosa, en su tratado Sobre la Cuadratura de la Parábola, en cuyo preámbulo dirigido a Dositeo, Arquímedes escribe: «[...] Pero ninguno de mis predecesores, que yo sepa, ha buscado la cuadratura del segmento comprendido por una recta y una sección de cono rectángulo, problema cuya solución he encontrado [...].» Efectivamente, tras la cuadratura de las lúnulas de Hipócrates, la cuadratura de la parábola es el primer ejemplo histórico de la obtención de un área limitada por curvas.

Muchas de las obras de Arquímedes están precedidas por ciertos preámbulos dirigidos a varios de sus amigos matemáticos alejandrinos. Esto parece revelar que Arquímedes tenía la costumbre de enviar a Alejandría los enunciados de los teoremas que encontraba, pidiendo a los matemáticos que los demostraran. Como seguramente la petición de Arquímedes no debía ser satisfecha, él mismo enviaba más tarde los resultados de sus investigaciones, redactados y demostrados impecablemente, eliminando pasos intermedios y alusiones a los teoremas en que se basaba. Al no mencionar el proceso heurístico seguido en el descubrimiento, muchos de los teoremas resultaban realmente sorprendentes.

El Método es una obra singular de Arquímedes, porque en ella se decide a revelar a la comunidad matemática alejandrina, en carta dirigida a Eratóstenes, la vía de investigación de cuestiones matemáticas por medio de la mecánica, un método que Arquímedes utilizaba en sus descubrimientos y que había omitido en todos los restantes escritos científicos. La combinación de Geometría y Estática que Arquímedes había hecho en Sobre el Equilibrio de los Planos y en Sobre los Cuerpos Flotantes para establecer rigurosamente ciertas propiedades relacionadas con el equilibrio de ciertos cuerpos geométricos, la realiza de nuevo en El Método para descubrir e investigar resultados, que, obtenidos de forma mecánico-geométrica, demostrará de forma rigurosa en sus tratados científicos.

El Método de Arquímedes consta de tres partes: el Preámbulo dirigido a Eratóstenes, ciertas asunciones previas o Lemas y los resultados propiamente dichos, recogidos en 16 proposiciones. En las primeras once proposiciones muestra simplemente el método de descubrimiento, en las últimas realiza todo el ciclo de la investigación científica, desde descubrir los resultados hasta demostrarlos de forma geométrica por exhaución.

En El Método, Arquímedes explica cómo se convence de cuál es el valor del área de una sección de parábola, sin embargo, él mismo, dice que esa no es una demostración rigurosa y que la demostración rigurosa la expone al final del escrito, pero esa parte no está completa, así que la demostración que sugiere es de su libro Sobre la Cuadratura de la parábola.

A continuación se expone la definición de parábola que se utiliza en geometría analítica o la definición de Arquímedes. Una parábola es un objeto geométrico en el plano, definido a partir de un punto llamado foco (F), y una recta llamada directriz (d). Para definirla necesitamos las nociones de distancia entre dos puntos (en realidad poder comparar la distancia entre pares de puntos), y la distancia de un punto a una recta. Recordemos que la distancia de un punto a una recta es la menor distancia del punto a cualquier punto de la recta, y se obtiene tomando la proyección perpendicular del punto sobre la recta. Ahora sí: dados el foco F y la directriz d, F ∉ d, la parábola asociada es el lugar geométrico de todos los puntos que están a igual distancia de F y d.

Proposición 18:

Sea Qq la base del segmento parabólico y V el punto medio de Qq, y si el diámetro a través de V interseca a la curva en P, entonces P es el vértice.

[pic 2]

Demostración:

Qq es paralela a la tangente en P. Por lo tanto, de todas las perpendiculares que pueden trazarse de puntos en el segmento de la base Qq, PV es el mayor, luego por definición P es el vértice del segmento.

Proposición 19:

Si Qq es una cuerda de una parábola dividida por la mitad en V por el diámetro PV, y si RM es un diámetro que divide en 2 QV en M, y RW la paralela a Qq por R, siendo W, la intersección de esta recta con PV, entonces

[pic 3]

[pic 4]

        Demostración:

Por la propiedad de la parábola:

[pic 5]

                                                            [pic 6]

       Así que eso                         [pic 7]

      De donde                             [pic 8]

Preposición 20:

Sea Qq la base y P el vértice, de un segmento parabólico, luego el triángulo PQq es superior a la mitad del segmento parabólico PQq.

[pic 9]

Demostración:

La cuerda de la parábola Qq es paralela a la tangente en P, y el triángulo PQq es la mitad del paralelogramo formado por Qq, la tangente en P y los diámetros exteriores Q,q.Por lo tanto el triángulo PQq es mayor que la mitad del segmento.

...