Axiomas de Incidencia y sus implicaciones

DOCUMENTO DE ESTUDIO

ORIENTADOR:         JORGE ALBERTO BEDOYA BELTRAN

1. Axiomas de Incidencia y sus implicaciones

Antes de dar los fundamentos axiomáticos en la forma en que lo hizo Hilbert, veamos algunas definiciones y métodos de demostración.

Proposición: es un enunciado al cual se le puede asignar uno y solo un valor de verdad (verdadero o falso).

Axioma o postulado: es una verdad evidente por sí misma, se admite sin demostración. (por ejemplo: existen al menos dos puntos).

Teorema: es una verdad que necesita demostración, se vale para ello de reglas lógicas, los teoremas se pueden llevar a la forma , donde   es llamada la hipótesis y Q la conclusión o tesis.[pic 1][pic 2]

Corolario: es una consecuencia directa de un teorema o de la demostración del mismo.

Fundamentos Axiomáticos de la geometría Euclidiana

La definición de los términos se hace recurriendo a términos anteriormente definidos. Sin embargo, algunos términos básicos no se pueden definir ya que son independientes entre sí y no existen términos anteriores que los definan.

La solución a este impase consiste en admitir, sin definición, los primeros términos y relaciones de la teoría a cambio que sea dada la lista definitiva de ellos.

1. Se dan los siguientes términos y relaciones primitivas:

Términos Primitivos: son los conceptos básicos, a partir de los cuales se definen otros conceptos de la geometría, estos son: Punto, Recta, Plano, Espacio.

Notación: los elementos primitivos se denotan, así:

Puntos: con letras mayúsculas(A,B,X,P,…)

Recta: con letras minúsculas [pic 3]

Plano: con letras del alfabeto griego [pic 4]

ELEMENTOS BASICOS UTILIZADOS EN TEORÍA DE CONJUNTOS

RELACIONES: y [pic 5][pic 6]

El símbolo   se utiliza para relacionar elementos con conjuntos, en geometría por  ejemplo, la expresión , puede ser interpretada como.[pic 7][pic 8]

• El punto  pertenece  a la recta  [pic 9][pic 10]
• La recta pasa por el punto [pic 11][pic 12]

El símbolo   se utiliza para relacionar conjuntos con conjuntos, en geometría por ejemplo, la expresión , puede ser interpretada como:[pic 13][pic 14]

• La recta  está contenida en el plano [pic 15][pic 16]
• Todos los puntos de la recta  pertenecen al plano[pic 17][pic 18]

El símbolo   se utiliza para indicar que existe al menos un elemento que cumple cierta propiedad.[pic 19]

El símbolo   se utiliza para indicar que existe un único elemento que cumple cierta propiedad.[pic 20]

Los axiomas de incidencia permiten determinar la existencia de los elementos primitivos estableciendo condiciones de unicidad y existencia.

1. Axiomas de incidencia

Axioma 1: Dos puntos distintos determinan una y solo una recta a la cual pertenecen.

Este mismo enunciado puede interpretarse como:

• Por dos puntos distintos pasa una y solo una recta.
• Si  son dos puntos diferentes, entonces existe una y solo una recta que los contiene.[pic 21]

También puede ser interpretado simbólicamente como

 [pic 22]

La representación gráfica de este enunciado es

Antecedente[pic 23]

Consecuente

[pic 24][pic 25]

Axioma 2: A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos.

Axioma 3: Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no está en la

      recta.

 Axioma 4: Tres puntos distintos que no están en una misma recta, determinan un

                  único plano que los contiene.

Puntos colineales:         son aquellos que están en una misma recta, así los puntos                                          son colineales(o están alineados) si , [pic 26][pic 27]

Gráficamente se representa

[pic 28]

Axioma 5: A todo plano le pertenecen al menos tres puntos distintos no colineales.

Axioma 6: Si dos puntos de una recta están en un plano, la recta está contenida en el  

                 plano.

Axioma 7: Si dos planos distintos se cortan, su intersección es una recta.

Axioma 8: Dado un plano, existe por lo menos un punto del espacio que no está en el

      plano.

Rectas coplanarias: dos rectas  son coplanarias si están contenidas en el mismo [pic 29]

      plano.

[pic 30]

1. Posiciones relativas entre dos puntos

Dados dos puntos  hay dos posibles posiciones:[pic 31]

1. Los puntos coinciden es decir, son el mismo punto [pic 32]

Representación gráfica

[pic 33]

1. Los puntos son diferentes,  simbólicamente se representa .[pic 34]

Representación gráfica

[pic 35]

1. Posiciones relativas entre un punto y una recta

Dados un punto y una recta , hay dos posibles posiciones:[pic 36][pic 37]

1. El punto pertenece a la recta, simbólicamente se representa [pic 38]

Representación gráfica

[pic 39]

1. El punto no pertenece a la recta, simbólicamente se representa [pic 40]

Representación gráfica

[pic 41]

1. Posiciones relativas entre un punto y un plano

¿Cuáles posiciones relativas se presentan cuando se tienen un punto y un plano?

Actividades

1. Dar una interpretación equivalente a los axiomas 2 y 4, expresada en la forma ( Ver interpretaciones de axioma 1. [pic 42]
2. Representar gráficamente los axiomas 2, 4, 5, 6 y 7.
3. Escribir al menos una diferencia entre los axiomas 1 y 2.
4. Escribir al menos una diferencia entre los axiomas 4 y 5.

1. Aplicaciones de los axiomas de incidencia

Con el uso de los axiomas de incidencia se pueden demostrar teoremas sobre intersección  entre puntos, rectas y planos.

Teorema 1.         Dos rectas diferentes se interceptan a lo sumo en un solo punto.

Este teorema puede reescribirse en la forma  así.[pic 43]

Si dos rectas diferentes se interceptan, entonces su intersección es un solo punto.

Simbólicamente se puede interpretar como:

 [pic 44]

Gráficamente se interpreta como                

[pic 45]

Teorema 2.         Si dos rectas diferentes se interceptan, entonces existe un único plano

que las contiene.

Al hacer la lectura del teorema 2 (escrito en la forma ) puede determinarse la hipótesis y la tesis como: [pic 46]

Hipótesis: dos rectas diferentes que se interceptan

Tesis: existe un plano único que las contiene

Representación simbólica de la hipótesis: en el enunciado hay implícitamente dos condiciones que deben cumplirse:

1. Las rectas deben ser diferentes, es decir, [pic 47]
2. Las rectas deben interceptasen, esto significa que, [pic 48]

Representación simbólica de la tesis:

        [pic 49]

Representación gráfica de la hipótesis: 

[pic 50]

La demostración se realiza por el método directo, teniendo en cuenta la representación gráfica de la hipótesis, comienza suponiendo que la hipótesis se cumple

Demostración:

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