Axiomas de un espacio vectorial

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

2011/11/08 MATEMATIKAIZEN

El enfoque axiomático es fundamental para definir objetos matemáticos ya que nos ayudan a determinar si se cumplen o no ciertas propiedades. Decimos que un conjunto de objetos matemáticos V, junto con dos operaciones \oplus y \odot (que llamamos la suma vectorial y la multiplicación de un escalar¹ por un vector, respectivamente) forman un espacio vectorial, si se cumplen los diez axiomas siguientes:

[cerradura bajo la suma de vectores] \forall x,y \in V, se cumple x \oplus y \in V

[asociatividad de la suma de vectores] \forall x,y,z \in V, se cumple (x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)

[elemento identidad de la suma de vectores] \exists 0 \in V tal que 0 \oplus x = x \oplus 0 = x

[elemento inverso aditivo] Si x \in V, \exists \; -x \in V tal que x + (-x) = 0

[conmutatividad de la suma de vectores] \forall x,y \in V, se cumple x \oplus y = y \oplus x

[cerradura bajo la multiplicación por escalar] Si x \in V, y \alpha es un escalar, entonces \alpha \odot x \in V.

[primera ley distributiva] Si x,y \in V y \alpha un escalar, entonces \alpha \odot (x \oplus y)=(\alpha \odot x) \oplus (\alpha \odot y)

[segunda ley distributiva] Si x \in V y \alpha, \beta son escalares, entonces (\alpha + \beta) \odot x = (\alpha \odot x) \oplus (\beta \odot x)

[asociatividad de multiplicación por escalares] Si x \in V y \alpha, \beta son escalares, entonces \alpha (\beta \odot x) = (\alpha \beta) \odot x

[identidad de multiplicación por escalar] Para cada vector x \in V, se cumple 1 \odot x = x

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