Espacio Vectorial

Espacio vectorial:

Es aquel formado por un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (Números reales), que además está dotado por dos operaciones:

- Suma de vectores A, B, C Є V A+B Є V

- Multiplicación por un escalar c, d, e Є K c A Є V

* Se denota por {V, K,+,}

Dependencia lineal:

*Dados 2 vectores, A y B, se dice que A es linealmente dependiente de B, si A puede ser expresado como combinación lineal de B.

Ejemplo: A = (3 2) B = (-6 -4)

Producto interno:

* Es la suma y multiplicación de las coordenadas de dos vectores entre sí.

* Ejemplo: A = (1, 1, 1) B=(0,2,-1)

Norma de un vector:

Dado un espacio vectorial V, con x1, x2,…xn las coordenadas de un vector.

Ejemplo: Hallar ||w||2 de (0,1,2)

Vectores ortogonales:

Dos vectores son ortogonales si su Producto Interno es igual a cero.

Base ortogonal:

Es aquella donde los dos vectores que conforman la base son perpendiculares entre sí; es decir su producto interno es igual a cero.

Subespacios:

Sea un espacio vectorial V, un subespacio U es un subconjunto no vacío de V, que satisface las siguientes propiedades:

- Suma de vectores B, C Є U B+C Є U

- Multiplicación por un escalar d Є K dB Є U

Matrices:

Es una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones y n incógnitas.

* Ejemplo: Dos familias van a una heladería y compran lo siguiente:

- Familia 1: 2 barquillas, 1 helado de tina y 3 granizados, gastando 42 BsF.

- Familia 2: 1 barquilla, 2 helados de tina y 1 granizado, gastando 51BsF

Autovalores y Autovectores:

Sea A una matriz, X un vector no nulo y (c) un escalar.

- X es un autovector (vector propio) si AX=cX

- (c) se llama autovalor (valor propio)

*Para hallar los autovalores se debe encontrar el Polinomio Característico

|A-cI|=0

*Para hallar los autovectores, se buscan todos aquellos vectores tales que

(A-cI)X=0

Formas cuadráticas asociadas a una matriz:

Son combinaciones expresadas en ecuaciones de los elementos de una matriz más los elementos de un vector de variables.

Pasos para resolver un problema de Forma cuadrática asociada a una matriz:

Hallar la matriz simétrica asociada:

- En la diagonal principal los coeficientes de los términos al cuadrado

- Los demás valores son los términos divididos entre 2

* Estudiar la matriz de acuerdo al método de los menores principales para clasificar la forma cuadrática.

* Ejemplo: Clasificar la forma w(x,y,z)=3x2+y2+2xz+4xy

Conjuntos convexos:

En un espacio vectorial,

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