Espacio Vectorial

Espacios Vectoriales

Nombre: Cristian Muñoz M.

Sección : 159

Fecha : 14/12/13

Espacios Vectoriales

Sea un conjunto V, cuyo elemento se denota por u,v,… V tiene definido 2 operaciones

1_ Suma V u, v ϵ V u + v ϵ V

2_ Producto por V u e V, V α ϵ R α * u ϵ V

Escalar

V es un Espacio Vectorial si cumple las siguientes propiedades:

_Conmutativa u + v = v + u

_Asociativa u + (v + w) = (u + v) + w

_Elemento Neutro e + u = u + e = u

_Opuesto u´ u´ + u = u + u´= e

_Distributiva α (u + v) = α*u + α*v

(α + β) *u = α*u + β*u

_ α*(β*u) = (α*u)* β

_Elemento Neutro 1*u = u

Ejemplos de Espacios Vectoriales más típicos

Dimensión Espacio Vectorial

Ejemplos

Vectores de R^2

2

(2,3)

Vectores de R^3

3

(1,3,5)

Matrices de M2x2

4

Matrices de M3x3

9

Polinomio de 1er Grado

2

X+3

Polinomio de 2do Grado

3

X^2-X+2

Polinomio de 3er Grado

4

X^3+ X^2-2X+0

Combinación Lineal

Un vector V se dice que es una Combinación Lineal de un Conjunto de vectores C { u1, u2, u3, …. } si el sistema V = α* u1 + α* u2 + α* u3 + …..

Tiene una única solución

Ej: 1) Sea el conjunto de vectores C { (1,3,5) (0,1,0) } decir si V1 = (1,2,3) y

V2 = (1,5,5) son Combinación Lineal de C

V1 = α1* u1 + α2* u2

(1,2,3) = α1 (1,3,5) + α2 (0,1,0)

1 = α1 + o α1 = 1

2 = 3α1 + α2 3α1 + α2 = 2

3 = 5 α1 + o 5α1 = 3 α1 = 3/5

V1 no es Combinación Lineal, ya que α1 da dos resultados diferentes

V2 = α1* u1 + α2* u2

(1,5,5) = α1 (1,3,5) + α2 (0,1,0)

1 = α1 + o α1 = 1

5 = 3α1 + α2

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