Espacio Vectorial

1.- Demostrar que un conjunto de vectores pertenecientes a (R3,+,.) tienen estructura de espacio vectorial

Sea K un cuerpo, y V un conjunto no vacio. Entonces se dice que (R3,+,.), tienen estructura de espacio vectorial, si se verifica o que cumpla las siguientes propiedades:

Conmutativa: U + V = V + U

Asociativa: (U + V) + W = U + (V + w)

Existencia del elemento neutro: U + 0 = U

Existencia de elemento simétrico u opuesto: U + (-U) = 0

Distributiva de la suma de escalares: (∂ + β) U = ∂.U + β.U

Distributiva respecto a la suma de vectores: (U + V) ∂ = ∂.U + ∂.V

Seudoasociativa: (∂ β) U = ∂ (β U)

Elemento unidad: A . U = U, donde A = 1

Demostración:

Sea tres vectores en R3, demostrar tienen estructura de espacio vectorial

U= (UX, UY , UZ) ; V = (VX, VY , VZ) ; Z = (ZX, ZY , ZZ)

Conmutativa: U + V = V + U

(UX, UY , UZ) +(VX, VY , VZ) = (VX, VY , VZ) + (UX, UY , UZ)

(UX + VX,, UY + VY, UZ + VZ ) = (VX+ UX, VY + UY, VZ + UZ)

(UX + VX,, UY + VY, UZ + VZ ) = (UX + VX,, UY + VY, UZ + VZ )

Asociativa: (U + V) + W = U + (V + w)

[ (UX, UY , UZ) +(VX, VY , VZ)] + (ZX, ZY , ZZ) = (VX, VY , VZ) +[ (UX, UY , UZ) + (ZX, ZY , ZZ)]

(UX + VX,, UY + VY, UZ + VZ ) + (ZX, ZY, ZZ) = (VX, VY , VZ)+ (UX+ ZX, UY + ZY, UZ + ZZ)

UX + VX + ZX,, UY + VY + ZY, UZ + VZ + ZZ = ( VX +UX+ ZX, VY + UY + ZY, VZ + UZ + ZZ)

UX + VX + ZX,, UY + VY + ZY, UZ + VZ + ZZ = UX + VX + ZX,, UY + VY + ZY, UZ + VZ + ZZ

Existencia del elemento neutro: U + 0 = U

(UX, UY , UZ) + (0, 0, 0) = (UX, UY , UZ)

(UX+0, UY+0 , UZ+0) = (UX, UY , UZ)

(UX, UY , UZ) = (UX, UY , UZ)

Existencia de elemento simétrico u opuesto: U + (-U) = 0

(UX, UY , UZ) + [-(UX, UY , UZ)] = (0, 0, 0)

(UX, UY , UZ) + (-UX, -UY , -UZ) = (0, 0, 0)

(UX- UX, UY-UY, UZ-UZ) = (0, 0, 0)

(0, 0, 0) = (0, 0, 0)

Distributiva de la suma de escalares: (∂ + β) U = ∂.U + β.U

Sea ∂ = 2 , y β = 3

(2 + 3) (UX, UY, UZ) = 2(UX, UY, UZ) + 3(UX, UY, UZ)

5 (UX, UY, UZ) = 2UX, 2UY, 2UZ + 3UX, 3UY, 3UZ

5UX, 5UY, 5UZ = 5UX, 5UY, 5UZ

Distributiva respecto a la suma de vectores: (U + V) ∂ = ∂.U + ∂.V

[ (UX, UY , UZ) +(VX, VY , VZ)] 2 = 2(UX, UY, UZ) + 2( VX, VY , VZ)

(UX + VX,, UY + VY, UZ + VZ ) 2 = (2UX, 2UY, 2UZ) + ( 2VX, 2VY , 2VZ)

2UX + 2VX,, 2UY +2 VY, 2UZ + 2VZ = 2UX + 2VX,, 2UY +2 VY, 2UZ + 2VZ

2(UX + VX,, UY + VY, UZ + VZ) = 2(UX + VX,, UY + VY, UZ + VZ)

(UX + VX,, UY + VY, UZ + VZ) = (UX + VX,, UY + VY, UZ + VZ)

Seudoasociativa: (∂ β) U = ∂ (β U)

(2 . 3) (UX, UY, UZ) = 2 [3 (UX, UY, UZ)]

6 (UX, UY, UZ) = 2 (3UX, 3UY, 3UZ)

6UX, 6UY, 6UZ = 6UX, 6UY, 6UZ

Elemento unidad: A . U = U, donde A = 1

1 (UX, UY , UZ) = (UX, UY , UZ)

(1.UX, 1.UY , 1.UZ) = (UX, UY , UZ)

(UX, UY , UZ) = (UX, UY , UZ)

TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL.

2.- Demostrar que los siguientes vectores V1=(-6,-5,4); V2=(-2,7,1) y V3=(-6,5,8) tienen estructura de espacio vectorial.

DEMOSTRANDO:

Conmutativa: U + V = V + U, es decir: V1 + V2 = V2 + V1

(-6, -5, 4) + (-2, 7, 1) = (-2 ,7 ,1) + (-6, -5, 4)

(-6 -2, -5 + 7, 4 + 1) = (-2 -6, 7 – 5, 1 + 4)

(-8, 2, 5) = (-8, 2, 5)

Asociativa: (U + V) + W = U + (V + w), es decir:

(V1 + V2) + V3 = V1 + (V2 + V3)

[(-6, -5, 4) + (-2, 7, 1)] + (-6, 5, 8) = (-6, -5, 4) + [(-2 ,7 ,1) + (-6, 5, 8)]

(-6 -2, -5 + 7, 4 + 1) + (-6, 5, 8) = (-6, -5, 4) + (-2 – 6, 7 + 5, 1 + 8)

(-8, 2, 5) + (-6, 5, 8) = (-6, -5, 4) + (-8, 12, 9)

(-8 - 6, 2 + 5, 5 + 8) = (-6 - 8, -5 + 12, 4 + 9)

(-14, 7, 13) = (-14, 7, 13 )

Existencia del elemento neutro: U + 0 = U, es decir: V1 + 0 = V1

(-6, -5, 4) + (0, 0, 0) = (-6, -5, 4)

(-6 + 0, -5 + 0, 4 + 0) = (-6, -5, 4)

(-6, -5, 4) = (-6, -5, 4)

Existencia de elemento simétrico u opuesto:

U + (-U) = 0 ; es decir: V1 + (-V1) = 0

(-6, -5, 4) + [- (-6, -5, 4) ] = (0, 0, 0)

(-6, -5, 4) + (6, 5, -4) = (0, 0, 0)

(-6 + 6, -5 + 5, 4 - 4) = (0, 0, 0)

(0, 0, 0) = (0, 0, 0)

Distributiva de la suma de escalares:

(∂ + β) U = ∂.U + β.U ; es decir: (∂ + β) V1 = ∂. V1 + β. V1, Donde ∂ = 1 y β =2

(1 + 2) (-6, -5, 4) = 1 . (-6, -5, 4) + 2 . (-6, -5, 4)

3 (-6, -5, 4) = (-6, -5, 4) + (-12, -10, 8)

(-18, -15, 12) = (-6 – 12, -5 - 10, 4 + 8)

(-18, -15, 12) = (-18, -15, 12)

Distributiva respecto a la suma de vectores:

(U + V) ∂ = ∂.U + ∂.V; es decir: (V1 + V2) ∂ = ∂ . V1 + ∂ . V2

Donde ∂ = 1

[(-6, -5, 4) + (-2, 7, 1)] 1 = 1 . (-6, -5, 4) + 1 . (-2, 7, 1)

(-6 - 2, -5 + 7, 4 + 1) . 1 = (-6 . 1, -5 . 1, 4 . 1) + (-2 . 1, 7 . 1, 1 . 1)

(-8, 2, 5) . 1 = (-6, -5, 4) + (-2, 7, 1)

(-8 .1, 2 . 1, 5 . 1) = (-6 - 2, -5 + 7, 4 + 1)

(-8, 2, 5) = (-8, 2, 5)

Seudoasociativa:

(∂ β) U = ∂ (β U); es decir: (∂ β) V1 = ∂ (β V1); donde ∂ = 1 y β =2

(1 . 2) . (-6, -5, 4) = 1 . [ 2 . (-6, -5, 4) ]

2 . (-6, -5, 4) = 1 . (-12, -10, 8) ]

(-12, -10, 8) = (-12, -10, 8) ]

Elemento unidad:

A . U = U, es decir: A . V1 = V1 , donde A = 1

1 . (-6, -5, 4) = (-6, -5, 4)

(-6 . 1, -5 . 1, 4 . 1) = (-6, -5, 4)

(-6, -5, 4) = (-6, -5, 4)

TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL.

3.- Demostrar:

a) Si v ϵ V 0 . v = 0

Demostración:

Podemos escribir 0 . v = (0 + 0) v

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