ESPACIO VECTORIAL.

1.ESPACIO VECTORIAL.

Es un conjunto arbitrario diferente del vacío en el cual se han definido dos operaciones: adición y producto por un número. Un conjunto es una colección de objetos que está bien definida, por definida, entendemos que siempre es posible saber si un elemento o no pertenece a una colección o conjunto.

Algunos ejemplos de espacios vectoriales son:

Con las operaciones usuales los siguientes conjuntos se constituyen como espacios vectoriales: Matrices de n×n ; P(n) (polinomios), funciones continuas, IRn (producto cartesiano). Por ahora consideraremos el conjunto IR2 = { (x, y) | ... } y veremos las siguientes operaciones:

Sea un vector ^u = (x1, y1) y ^v = (x2, y2) y k un escalar entonces definimos las siguientes operaciones:

^u + ^v = (x1 + x2, y1 + y2) k^u = (kx1, ky1) ^u •^v = x1 • x2 + y1 • y2

Y además se satisfacen los siguientes axiomas:

Sean vectores denotados como ^u, ^v y ^w y a, b, c escalares, entonces:

1. ^u + ^v = ^v + ^u

2. (^u + ^v )+ ^w = ^u + (^v + ^w)

3. ^u + 0 = 0 + ^u = ^u

4. ^u + ( - ^u) = 0

5. a(b^u) = (ab)^u = ^u(ab)

6. a(^u + ^v) = a^u + a^v

7. (a + b)^u = a^u + b^v

8. 1^u = ^u

9. ^u•^v = ^v•^u

10. ^u(^v + ^w) = ^u•^v + ^u•^w

11. c(^u^v) = (c^u)^v = ^u(c^v)

12. 0•^u = 0

13. ^u•^u = |^u|2

14. Dos vectores son perpendiculares  ^u•^v = 0

En IR² ó IR³ cuando consideramos un punto (x, y) cualquiera y lo representamos gráficamente en el plano cartesiano trazando una línea de leal origen, recibe el nombre de vector de posición o vector anclado. Además, si el vector ^u es elemento de IR², entonces ^u = (x, y).

En la siguiente gráfica ^u es un vector anclado, observemos los demás elementos que componen dicha gráfica:

Podemos observar que:

^u = ux + uy donde ux = (x, 0) y uy = (y, 0)

Denotamos como || ^u || a la distancia del origen al punto (x, y) denominada magnitud del vector ^u y de donde obtenemos las siguientes conclusiones:

• || ^u || = (x² + y²)½

• Cos() = x / || ^u ||

• Sen() = y / || ^u ||

• Para un vector anclado ^u, ^ux representa su componente en la dirección x y ^uy representa su componente en la dirección y.

• La dirección de un vector de posición está dada por el ángulo que forma con el sentido positivo del eje X.

2.LA LÍNEA RECTA.

2.1.Concepto de Línea Recta.

Éste concepto matemático parece no tener definición ya que es una sucesión de puntos y éstos carecen de magnitud, pero se considera como una trayectoria de puntos que no cambian de dirección, o bien, en términos del espacio, es la intersección de dos planos. Además tenemos los siguientes conceptos:

• Segmento de recta: Recta delimitada por dos puntos, ésta es una magnitud lineal finita.

• Semirrecta: Si se tiene una recta con un punto P contenido en ella y que la divide, cada una de las porciones en que queda dividida se le conoce como semirrecta.

• Rayo: Se le conoce como la semirrecta en un sentido, simbolizada como

donde la flecha indica el sentido, el origen es A y el destino B, o bien por "r" con una flecha indicando el destino.

2.2.Pendiente de una recta.

Uno de los elementos más importantes de la línea recta es la pendiente, la cual se define como la tangente del ángulo de inclinación. El ángulo de inclinación es aquel que forma la recta con el eje positivo de las X. Dados dos puntos por los cuales pasa la recta, su pendiente se calcula así:

• m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

• m = Tg ().

• Tg() = y2 / x2 = y1 / x1

2.3.Ecuación de la recta.

• Forma intercepto-pendiente: y = mx + b (b es el intercepto con el eje Y).

• Conocidos la pendiente y un punto cualquiera (x1, y1), la ecuación es: y – y1 = m(x – x1).

• Conocidos dos puntos la ecuación es: y – y1 = [ (y2 – y1) / (x2 – x1) ] • (x – x1)

• Forma general de la ecuación de la recta: La encontramos haciendo operaciones con cualquiera de las formas antes mencionadas, su representación es: ax + by + c = 0.

Definiciones.

• Se dice que dos puntos son colineales si están sobre la misma recta.

• Se dice que dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es –1.

• Se dice que dos rectas son paralelas si ambas tienen la misma pendiente.

• La distancia del punto P(x1, y1) a la recta L: Ax + By + C = 0 es: d(P, L) = |Ax1 + By1 + C| / (A² + B²)½

2.4.Forma simétrica de la ecuación de la recta.

x/a + y / b = 1 Donde a es el intercepto con x y b el intercepto con y.

2.5.Rectas y vectores.

En el plano cartesiano las rectas y los vectores se relacionan de la siguiente forma: Dados dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), entonces, ellos determinan una recta, justamente la que pasa por ambos, y su ecuación se encuentra de forma usual. Vistos los puntos como vectores ^a = (x1, y1) y ^u = (x2, y2), puede plantearse la siguiente pregunta: ¿Cuál es la recta que pasa por la punta del vector ^a en la dirección del vector ^u? (recta L), con mayor precisión, observe en la figura que ^u = ^a + t^h que es la ecuación en forma vectorial de la recta L. Entonces podemos hacer las siguientes sustituciones:

^a + t^h = (x1 + tx2, y1 + ty2)  x = x1 + tx2 y y = y1 + ty2 y podemos sustituir y despejar t para encontrar la ecuación de la recta en su forma general.

Teorema:

La forma normal de la ecuación de una recta está dada por: xCos() + ySen() – p; donde p es un número positivo numéricamente igual a la longitud de la normal trazada desde el origen a la recta y  es el ángulo positivo menor a 360°.

3.CIRCUNFERENCIA.

Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.

La circunferencia cuyo centro es (h, k) y de radio r tiene por ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 y recibe el nombre de ecuación en forma ordinaria.

3.1.Forma general de la ecuación de una circunferencia.

Dada la forma ordinaria (x - h)2 + (y - k)2 = r2 desarrollamos los cuadrados y tenemos:

X2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 = r2; agrupando términos:

X2 + y2 + (-2h)x + (-2k)y + (h2 + k2 – r2) = 0; por último tenemos:

D E F

X2 + y2 + Dx +Ey + F = 0 que es la forma general que buscábamos. De aquí deducimos que cualquier ecuación en forma ordinaria

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