Demostraciones De Espacio Vectorial

Demostrar que es un espacio vectorial

El conjunto de todas las matrices m × n con componentes reales

Operaciones:

La suma: La suma de dos matrices m × n es una matriz también m × n cuyo elemento (i, j) es la suma de los elementos (i, j) de las matrices que se están sumando:

El producto por escalares: El producto de un escalar por una matriz m× n es también una matriz m× n cuyo elemento (i, j) es el producto del escalar por el elemento (i, j) de la matriz que se multiplica:

Axiomas A1 y M1: A + B ∈ y c · A ∈: De la misma definición de la suma de matrices y producto por escalares.

Axioma A2 ; A + B = B + A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene

Axioma A3: A + (B + C) = (A + B) + C: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene

Axioma A4, Existe una matriz neutra bajo la adición: Esta matriz es la matriz con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0 + A = A + 0 = A, pues al comparar los elementos (i, j) componentes se cumple:

Axioma A5: Cada matriz de tiene su inverso aditivo:

Para cada matriz , la matriz −A = ( ) cumple A+ (−A) = (−A) +A = 0, pues al comparar los elementos (i, j) se cumple:

Axioma M2: c(A + B) = c A + c B: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene

Axioma M3: (c1+c2)A = c1 A+c2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene

Axioma M4: ( · )A = ( A): Las matrices son iguales pues tienen la misma dimensión y al comparar los elementos (i, j) se tiene

Axioma M5: 1 · ( ) = (1 · ) = ( )

Habiéndose cumplido los 10 axiomas, concluimos que con las operaciones

() + () = (+ ) y c() = (c )

SI ES UN ESPACIO VECTORIAL

Demostrar que es un espacio vectorial

El conjunto de los polinomios con coeficientes en un cuerpo K, constituye un espacio vectorial sobre K. Asimismo, dado n ∈ N, el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n, también es un espacio vectorial (diremos que es un subespacio vectorial de ).

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