Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

4.1 Definición de Espacio Vectorial y propiedades

En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección, ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones. En un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros.

Supongamos que tenemos un conjunto donde para y escalares cumplen con las siguientes propiedades:

Propiedad de cerradura

.

.

Propiedad de adición

.

.

Contiene al elemento 0 con .

Propiedad de multiplicación por un escalar

.

.

.

4.2 Definicion de subespacio vectorial y propiedades.

Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V (K ). Si H es un espacio vectorial sobre K bajo las operaciones de suma y multiplicacion por escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V. En este caso se denota

H ⊂ H

Teorema

Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V (K ) es un

subespacio de V si, y solo si cumple con las siguientes

condiciones:

a) Dado u ∈ H y v ∈ H, entonces u + v ∈ H

b) Dado α ∈ K y v ∈ H, entonces αv ∈ H

Segun este teorema no es necesario verificar todos los

axiomas de la definicion de espacio vectorial para determinar si ´

un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio.

Bastara con verificar la cerradura en ambas operaciones.

Ejemplo

Demuestra que H = {(x, y) : y = 2x} = {(x, 2x) : x ∈ IR} es un

subespacio de IR2.

Una consecuencia del Teorema es el siguiente Corolario:

Corolario:

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al

elemento neutro.

Gracias a este Corolario tenemos una herramienta muy util

para verificar cuando un subconjunto de un espacio vectorial V

no es un subespacio de V . la razon se debe a lo siguiente:

(El subespacio Trivial)

Para cualquier espacio vectorial el subconjunto formado

´unicamente por el elemento neutro {e} es un subespacio. En

efecto, e + e = e y αe = e para todo escalar alpha. Este

subespacio vectorial se llama el Subespacio Trivial.

Todo espacio vectorial es un subespacio en si mismo. Es decir,

para todo espacio vectorial V , V es un subespacio de si mismo.

Estos dos ejemplos nos muestran que todo espacio vectorial V

contiene dos subespacio. Pero es de nuestro interes conocer ´

otros subespacios que no sean estos, nos referimos a los

subespacios propios de un espacio vectorial.

(En el Plano)

Consideremos el espacio vectorial IR2

, un subespacio propio

de IR2

es el subconjunto

H = {(x, y) : y = mx}.

El conjunto formado por todas las rectas del plano que pasan

por el origen. Notese que si m ´ = 2 coincide exactamente con el

subespacio estudiado al inicio de la sesion. En general, los ´

´unicos subespacios propios de IR2

son rectas que pasa por el

origen (¿por que?)

(En el Espacio)

Consideremos el espacio vectorial IR3

. Un subespacio propio

de IR3

es el subconjunto

H = {(x, y, z) : x = at, y = bt, z = ct, donde a, b, c, t ∈ IR}

(en el espacio ¿que representa este subespacio?). Se puede ´

decir que este es el ´unico subespacio propio de IR3

(En el espacio de las matrices)

Consideremos el espacio vectorial de las matrices M(K )m×n.

Este espacio vectorial tiene una gran variedad de subespacios

propios. Por ejemplo:

...