ESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS VECTORIALES

INTRODUCCION

Empezar las matem‡ticas de COU diciendo que el objetivo de su primera parte son

los sistemas de ecuaciones lineales puede ser sorprendente para quien, como tœ, hace ya

algœn tiempo que los sabe resolver. Si es as’, no importa, o incluso mejor: ser‡ se–al de que

no partiremos de cero. Lo que ocurre, como puedes suponer, es que en este curso

aprenderemos cosas nuevas y, con los sistemas de ecuaciones, siguiendo un mŽtodo habitual

en matem‡ticas, procederemos intentando encontrar lo que de comœn puedan tener todos

ellos para, analizada convenientemente esa estructura comœn, estar en condiciones de

resolver cualquier problema particular que se nos pueda presentar.

De modo que, efectivamente, estudiaremos sistemas de ecuaciones, pero en lugar de

limitarnos a trabajar con ejemplos concretos, veremos c—mo hay que proceder ante un

sistema de m (es decir, cualquier nœmero) ecuaciones lineales (de primer grado) con n (esto

es, cualquier otro nœmero, igual o no a m) inc—gnitas; y aunque ante un sistema en particular

nos podr’amos apa–ar con lo que ya sabemos, intentaremos asegurarnos de que nos

enfrentaremos con Žxito a cualquier sistema, por dif’cil que parezca.

Antes de entrar en el an‡lisis de los sistemas de ecuaciones -cosa que haremos en el

cap’tulo tercero-, dedicaremos este tema y el siguiente a proveernos de los instrumentos

necesarios para nuestro fin, esto es, a los espacios vectoriales (de los que ya has o’do

hablar), las matrices y los determinantes; pero si cuando concluyamos nuestra tarea alguien

dijera que lo del estudio de los sistemas no ha sido sino una excusa para hablar de lo que en

realidad quer’amos, o sea, de espacios vectoriales, matrices y determinantes, a lo mejor, y a

fuer de ser sinceros, no nos quedar’a m‡s remedio que concederle parte de raz—n.

Desear’amos, en todo caso, que al terminar esta parte del curso quedaras convencido de que

gracias a lo que para entonces habremos estudiado -y a algo m‡s, ciertamente-, una

maquinita puede resolver sistemas de, por ejemplo, mil ecuaciones con mil inc—gnitas como

si tal cosa.

ÀDe acuerdo? Pues ya, sin m‡s, empezamos.

2. LEYES DE COMPOSICIîN

Ejemplo

Consideremos los dos conjuntos siguientes: A = {a1, a2, a3} ; B = { b1, b2}. Si quisiŽ-

ramos emparejar de todas las formas posibles los elementos de A con los de B, escribiendo en

primer lugar los elementos de A y, despuŽs, los de B, tendr’amos las siguientes posibilidades:

(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2), (a3, b1), (a3, b2)

Pues bien, a cada pareja anterior le llamaremos par ordenado y, al conjunto de todas

ellas, producto cartesiano de A por B, al que representaremos as’: A ´ B.

(Observa que como los pares son ordenados, para que dos de ellos sean iguales no s—lo han de

tener los mismos elementos, sino que Žstos han de aparecer en el mismo orden).

Definici—n (de producto cartesiano)

Dados dos conjuntos cualesquiera, A y B, llamaremos producto cartesiano de A por

B, y lo representaremos por A ´ B, al conjunto:

A ´ B = { (a, b), donde a ÎA, bÎB }

Ejemplos (de otra cosa)

+ Cuando en la escuela aprendimos que 2 + 3 = 5, lo que est‡bamos haciendo era

establecer un criterio, la suma, que permit’a asociar al par de nœmeros (2, 3) otro nœmero, el

5. Si con el s’mbolo R represent‡semos el conjunto de los nœmeros reales, la operaci—n

anterior no ser’a sino una aplicaci—n del producto cartesiano R ´ R en R. En este caso, al par

(2, 3) corresponder’a la misma imagen, 5, que al par (3, 2).

+ Cuando escrib’amos 2 3 = 8, tambiŽn lo hac’amos en virtud de una aplicaci—n R ´

R ¾¾® R a la que llam‡bamos potenciaci—n. Pero en este caso, al contrario de lo que

suced’a en el anterior, mientras que al par (2, 3) le corresponder’a como imagen 8, al par (3,

2) le corresponder’a 3 2, es decir, 9.

b

a

a + b = c

+ Cuando en el plano vectorial, V 2, sum‡bamos

vectores libres mediante el criterio reflejado en

la figura, lo que est‡bamos estableciendo era una

aplicaci—n de V 2 ´ V 2 en V 2 que a cada par ordenado

de vectores hac’a corresponder otro vector.

Definici—n (de

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