Espacios Vectoriales Y Determinantes

Espacio vectorial

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacio con una operación sema interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se le denomina vectores y los elementos de un escalar se le denomina escalares.

Clasificación:

R1 = espacio unidimensional, línea recta real

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.

Rn = espacio n-dimensional, n-adas ordenadas.

Operaciones Básicas con Vectores en R2:

Suma de vectores y multiplicación por un escalar:

Siendo X y Y dos vectores y H un escalar se dice que:

X + Y = (x1 , x2) + (y1 , y2) = (y1 , y2) + (x1 , x2) y la multiplicación por un escalar se define

H(x1 ,x2)=(Hx1, Hx2).

Las propiedades que cumple la suma de vectores son la misma que cumplían las estructuras algebraicas de una operación que son: la de cierre, la conmutativa, la asociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.

Las leyes que cumple la multiplicación por un escalar son:

La de cierre bajo la multiplicación Hx,

La distributiva (H+I)x = Hx + Ix ; H(x + y) = Hx + Hy,

La asociativa (HI)x = H(Ix),

y el elemento neutro de la multiplicación 1x = x.

Operaciones Básicas con Vectores en Rn:

Las operaciones básicas con vectores en Rn son las mismas que las operaciones básicas que vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicación por un escalar la diferencia sería que en estos serian n-asimos elementos y n-asimos vectores ejemplo:

Para suma de vectores

X + Y = (x1 , x2, ... , xn) + (y1 , y2, ... , yn).

Para multiplicación de un vector por un escalar

H(x1 , x2, ... , xn) = (Hx1 , Hx2, ... , Hxn).

Las propiedades que cumplen son las mismas que vimos en operaciones básicas con vectores en R2.

El vector cero “0” es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en Rn:

0 = (0, 0, 0, ..., 0n), este vector tiene como propiedad de que es único, es decir, U + 0 = 0,

0U = 0, a0 = 0, aU = 0 si a = 0 o U = 0, donde “U” es un vector y “a” un escalar.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones <conjunto, operación, operación> (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.

Cuerpo:

Es el conjunto de números y operaciones cualesquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.

Sub cuerpo:

Si se operan escalares en forma de sub cuerpo

...