ESPACIO VECTORIAL

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE HUATUSCO

ALGEBRA LINEAL

INGENIERIA EN GESTION EMPRESARIAL

DALILA REYES SAMPIERI

11/02/2013

TRABAJO DE INVESTIGACION

ESPACIO VECTORIAL

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:

5) tenga la propiedad asociativa:

6) sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

SUBESPACIO VECTORIAL

En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V.

Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

Criterio de verificación

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualquier escalar r perteneciente al campo asociado, el vector es también un elemento de U.

Operaciones con subespacios

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:

Unión

En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.

Intersección

La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma

La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".1

Es decir que si

Lo que quiere decir también que todo vector de V, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

COMBINACION LINEAL

Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si se puede expresar como suma de los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , es decir:

.

Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de .

Ejemplo:

El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):

Otro ejemplo:

: Se dice que es combinación lineal de y de , porque podemos escribir sin más que despejar la . De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar el vector en cuestión.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Vectores linealmente dependientes

Varios

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