QUE ES ESPACIO VECTORIAL

¿Qué es un espacio vectorial?

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, denominados vectores, en el que se han definido dos operaciones binarias: la suma vectorial y el producto por un escalar (multiplicación por escalar).

En otras palabras, se puede decir, de forma intuitiva, que un espacio vectorial es un conjunto de objetos con dos operaciones que obedecen las reglas que acaban de escribirse (Grossman, 2008).

Cabe mencionar que la definición de espacio vectorial no especifica en qué consiste el conjunto V. Tampoco especifica cómo son las operaciones llamadas “suma” y “multiplicación por un escalar”. Con frecuencia, serán familiares, pero no necesitan serlo (Poole, 2011).

¿Cuál es el planteamiento para determinar si un conjunto es un espacio vectorial?

V es un espacio vectorial si se satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Si x y y están en V y si α es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de α y x como αx.

1. Cerradura de la suma: Si x ϵ V y y ϵ V, entonces x + y ϵ V 
2. Ley asociativa de la suma de vectores: Para todo x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z)
3. El 0 se denomina vector cero o idéntico aditivo: Existe un vector 0 ϵ V tal que para todo x ϵ V, x + 0 = 0 + x = x
4. -x se denomina inverso aditivo de x: Si x ϵ V, existe un vector -x en ϵ V tal que x + (-x) = 0.
5. Ley conmutativa de la suma de vectores: Si x y y están en V, entonces x + y = y + x 
6. Cerradura bajo la multiplicación por un escalar: Si x ϵ V y α es un escalar, entonces αx ϵ V
7. Primera ley distributiva: Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy
8. Segunda ley distributiva: Si x ϵ V y α y β son escalares, entonces (α + β) x = αx + βx
9. Ley asociativa de la multiplicación por escalares: Si x ϵ V y α y β son escalares, entonces α(βx) = (αβ)x
10. Para cada vector x ϵ V, 1x = x

Referencias

Grossman, S. I. (2008). Álgebra Lineal. Sexta edición. México, D.F.: McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V.

Poole, D. (2011). Álgebra lineal, Una introducción moderna. Tercera Edición. México, D.F: Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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