Espacio Vectorial

ESPACIO VECTORIAL: sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen 2 operaciones una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores es una regla que asocia a 2 vectores, digamos u y v un 3er vector, a este se le representara como u⊕v. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c⊙u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:

Axioma 1: para cualquiera 2 vectores u y v en V u ⊕v ∈V

“La suma de 2 elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto”

Axioma 2: para cualquiera 2 vectores u y v en V

u ⊕v=V⊕U

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

Axioma 3: para cualesquiera 3 vectores u, v, w en V

u⊕(v ⊕w)=(u⊕v)⊕w

En una suma de vectores no importa el orden de como asocien la suma entre 2; el resultado será siempre el mismo.

Axioma 4: existe u único vector en V que se simbolizará X 0 y que se llamara el vector 0.

u ⊕0=0 ⊕u=u

Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumando con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.

Axioma 5: para cualquier vector u ∈ v existe un único vector también en V y simbolizado por –u que cumple:

u ⊕(-u)=(-u)⊕u=0

Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumando con él da el neutro aditivo.

Axioma 6: para cualquier vector u ∈ v y para cualquier escalar C ∈ R se cumple:

C ⊙ U ∈ V

El resultado de un producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.

Axioma 7: para cualquiera 2 vectores u y v en V y para cualquier escalar C ∈ R se cumple: c ⊙(u ⊕v)=(c ⊙u) ⊕(c ⊙v)

En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplica cada vector por el escalar y después sumar los resultados.

Axioma 8: para cualquier vector u que u ∈ v y para cualquiera 2 escalares a y b se cumple:

(a+b)⊙u=(a ⊙u)+(b ⊙u)

Axioma 9: para cualquier vector u que u ∈ v y para cualquiera 2 escalares a y b se cumple:

a ⊙(b ⊙u)=(ab) ⊙u

Axioma 10: para cualquier vector u ∈ v se cumple:

1 ⊙ u = u

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