Espacio Vectorial

ESPACIO VECTORIAL

Definición:

Sea (K, +, •) un cuerpo . Diremos que un conjunto dotado de una operación interna + y otra externa • sobre el cuerpo tiene estructura de espacio vectorial si cumple las siguientes propiedades:

1. (E, +)es un grupo abeliano

2. • es una operación que va del producto cartesiano K x E en el conjunto :

verificando las siguientes propiedades:

2.1. Distributiva respecto de la suma de vectores:

2.2. Distributiva respecto de la suma de escalares:

2.3. Asociativa mixta:

2.4. Producto por el elemento unidad del cuerpo:

Siguiendo esta definición de lo que es un espacio vectorial, a partir de las propiedades que todos sabemos de la suma y producto de números reales (sabemos que (R, +, •) es un cuerpo, lo que implica, en particular, que (R, +) y (R*, •) son grupos), se demuestra muy fácilmente que, por ejemplo, el espacio de los vectores del plano con las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar con un tenemos:

y

Entonces se tiene que

es un espacio vectorial sobre .

Sin embargo, si ahora consideramos (R3, +, •) estando definidas estas operaciones como sigue:

se tiene que (R3, +, •) no es un espacio vectorial sobre , pues falla la propiedad de producto por el elemento de unidad del cuerpo, ya que

ejemplos de espacios vectoriales

1) , la recta numérica, con las operaciones habituales de adición y multiplicación.

2) Sea N el conjunto de los números naturales.

Entonces n={v=(x1, x2, . . . , xn)|xi ,i[1,n]*N}, con la adición y multiplicación por escalares definidas por:

(x1, x2,…, xn )+(y1,y2,…,yn ) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn )

*( x1, x2,…, xn ) = (* x1 , * x2 ,…, * xn )

3) El conjunto de las funciones reales continuas definidas sobre un intervalo [a,b] ,que denotamos por . Es decir, ={f|f es continua en [a,b]}. Las operaciones son:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(f)(x)=f(x)

f,g ,x[a,b], .

Este es uno de los espacios de funciones más importante en Análisis Matemático.

4) mxn, el espacio de las matrices reales de orden mxn, con m, n  N.

mxn = { A : A es una matriz real de orden mxn}. Las operaciones son:

A+B=C,aij+bij=cij ,

B=A,bij=aij,

A,B,C mxn,(i,j)1,m]x[1,n], .

5) El espacio de las sucesiones reales

l2 = {v = (x1, x2, .. , xn, ...): < *}, con las operaciones:

i) (x1, x2,...,xn,...)+(y1, y2,...,yn,...) = (x1 + y1 , x2 +y2,...,x + yn,...)

ii)  (x1 , x2 , ..., xn, ...) = (  x1 ,  x2 , ... ,  xn, ...)

(x1,x2,...,xn,..),(y1,y2,...,ym,..)l2, 

La verificación que todas las propiedades para la adición y multiplicación por escalares se cumplen es bastante simple en todos los casos, excepto quizás en el ejemplo 5. Veremos este caso como ejercicio. En realidad, la única dificultad consiste en demostrar que la suma de dos sucesiones en l2 es también una sucesión en l2. En efecto, si (x1,x2, .., xn, ...) e (y1 , y2 , ... ,yn) están en l2 , entonces

|xn|2 < *, |yn|2 < *

Para la sucesión suma :

|xn + yn|2 *

= |xn|2 + 2 |xn| |yn| + |yn|2

Pero: (|xn|-|yn|)2>0, luego:

| xn |2-2|xn||yn|+|yn|2 >0

*|xn|2+|yn|2 >2|xn||yn|

así: |xn + yn|2 * |xn|2 + ( |xn|2 + |yn|2 ) + |yn|2

= 2 |xn|2 + 2 |yn|2 < *

6) El espacio de las sucesiones reales convergentes c={v=(x1,x2,...): }, con las operaciones:

i) (x1, x2,.....)+(y1, y2,.....) = (x1 + y1 , x2 +y2,.....)

ii)  (x1 , x2 , ..., xn, ...) = (  x1 ,  x2 , .....)

(x1,x2,.....), (y1,y2,.....)c, 

7) El espacio de las sucesiones reales convergentes a cero c0={v=(x1,x2, ...): }, con las operaciones del ejemplo 6.

8) El conjunto de todas las sucesiones numéricas acotadas m={v=(x1,x2, ...): xi< x,  i=1,, para algún x }, con las operaciones del ejemplo 6.

9) El conjunto ={v=(x1,x2, ...)}, de todas las sucesiones, con las operaciones del ejemplo 6.

Subespacio

Dado un espacio vectorial , diremos que un subconjunto es un subespacio vectorial si ese conjunto tiene estructura de espacio vectorial.

Existe una caracterización que nos facilita comprobar si un subconjunto de un espacio vectorial es o no subespacio vectorial: Dado espacio vectorial y dado , diremos que es un subespacio vectorial de , si y solamente si, se cumple:

escalares, para todo par de vectores

y se verifica:

ejemplos de subespacios vectoriales

1) Sea V un espacio vectorial (e.v.) y sea vV, fijo, v*0. El conjunto

U = {*v :** } es un subespacio (unidimensional) de V. Por cierto, U es subespacio propio si la dimensión de V es mayor que 1.

La verificación de que U es subespacio es rápida. En primer lugar U**, luego si u,w*U,*,** , entonces:

*u+*w =*(*1v)+*(*2v)

=(**1+**2)v*U

2) El espacio es un subespacio (de dimensión infinita), del espacio de todas las funciones reales (es decir funciones reales continuas y discontinuas).

3) U={v* n:x1=0} es un subespacio propio de n, sin embargo,

U ={v* n:x1 = x2+1} no lo es (¿Por qué?).

4) Sea U = {u * : u es un polinomio de grado n} es un subespacio propio de y de dimensión finita.

5) l2 es un subespacio propio de c0.

6) c0 es un subespacio propio de c.

7) c es un subespacio propio de m.

8) m es un subespacio propio de  .

Definición de Dependencia e Independencia de un subespacio.

Hemos visto la definición de espacio vectorial, vamos ahora a concretar algunas propiedades que tiene la operación externa.

Propiedades de la operación

Sea (E,+,•) un espacio vectorial. Entonces, se verifica:

1.

2.

3.

ó

4.

5.

6.

Simplificación de escalares:

7.

Simplificación de vectores:

De la estructura de espacio vectorial sabemos que si sumamos dos vectores el resultado va a ser un vector. También sabemos que si multiplicamos un escalar por un vector, el resultado será un vector. Uniendo estos resultados, llegamos a las siguientes definiciones:

Combinaciones lineales.

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