Espacio Vectorial

Espacio vectorial real Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

• Si x V y Y V, entonces x+y V (cerradura bajo la suma)

• Para todo x,y y z en V, (x+y) = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores)

• Existe un vector 0

V tal que para todo x

V, x+0 = 0+x=x

• (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)

• Si x V, existe un vector -x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)

• Si x y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)

• Si x

V y a es un escalar, entonces a x

- V ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

• Si x y y están en V y

es un escalar, entonces

(x +y) =

x +

y (primera ley distributiva)

• Si x

V y

y

son escalares, entonces (

+

)x =

x+x (Segunda ley distributiva)

• Si x V y y son escalares, entonces (x) = ()x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)

• Para cada vector x V, 1x= x

EJEMPLO 1

El espacio Rn Sea V = Rn = : xj E R para i = 1,2,...,n.

Cada vector en Rn es una matriz de n * 1. según la definición de suma de matrices, x + y es una matriz de n * 1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo

0= y -x= , se ve que los axiomas ii) ax ) se obtienen de la

definición de matrices

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