La matriz de un espacio vectorial

1. INTRODUCCIÓNEn este informe hablaremos sobre el ESPACIO VECTORIAL MATRICIAL ypodemos encontrar distintos puntos de tema como los siguientes: o ESPACIOS VECTORIALES o COMBINACIONES DE INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL o BASE o RANGO o DIMENSIONESLa idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representarmagnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello seemplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en elespacio...Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ2 y deℜ3.En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a losvectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de losvectores de la Física utilizando por ejemplo a las matrices y apoyándonosmediante la resolución de sistemas lineales.Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente: o Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector; o Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: (u,v,w), (u otrasletras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

2. 1. ESPACIO VECTORIAL:DEFINICION:SeaVunconjuntodotadode unaoperacióninterna“+”:V×V•V;quellamaremossuma,yseaKun cuerpoconmutativoquedefinesobreVuna operaciónexterna:"•“:K×V→V;quellamaremosproducto porescalares.Diremosque (V;+;•; K)esunespaciovectorial(e.v.) sobre K, respecto de lasoperaciones suma y producto porescalaressiseverificanlassiguientes condiciones:1.-(V;+)esungrupoconmutativo (esdecir,satisfacelaspropiedadesconmutativa,asociativa,existenciadeelemento neutro,ysimétricodecualquierelementodado).2.-El productopor escalarescumple:2.1.2.2. •( • ) ( )• , K, V2.3. • (a b) ( • ) ( •b) K, , V2.4.( )• ( • ) ( • ) , K, VLos elementos de V se denominan vectores. Si K = R; el espacio vectorial se dicereal, y cuando K = C; el espacio vectorial se llama complejo.Sepuedenobtenerfácilmentelassiguientespropiedades:1.0• 0 V,2. •0 03. ( • ) ( )• •( ) V, KCualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares,cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial.Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetosdiferentes a los vectores de la Física.)Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares. • Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo: Si αv = ( αescalar, v vector) entonces o bien es α = 0 ó bien es v = .EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES:

3. 1. El espacio ℜn, formado por los vectores de n componentes (x1,...,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambasoperaciones. El vector cero es (0,...,0).No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalarescomplejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de ℜn). 2. Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 yobtenemos otro elemento de P2; también podemos multiplicar un elemento de P2por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo: Suma:( que pertenece a P2. Producto por un escalar real: que pertenece a P2.Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es elpolinomio cero: 0x2 + 0x + 0No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo elresultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P 2. 3. Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado 3= (exactamente 3) con coeficientes reales.No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos deG, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos lospolinomiosPertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es queno pertenece a G (su grado no es 3). 4. Consideremos el conjunto M (también denotado por M ) de las matrices 2x2 con términos reales:

4. Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2obteniendo otra matriz de M2x2, y multiplicar una matriz de M2x2 por un escalar realobteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen laspropiedades. El vector 0 es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos.No es un espacio vectorial complejo. 5. Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos complejos.Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MCobteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar realobteniendo otra matriz de MC.También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar unamatriz de MC por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC.(Compruébese con elementos genéricos). 6. Consideremos el conjunto ME de las matrices 3x2 con términos enteros.Podemos sumar dos matrices de ME y obtenemos otro elemento de ME:En efecto, si tomamos, con a, b, c, d, a’, b’, c,d enteros, También tiene términos enteros, luegopertenece a ME.Sin embargo ME no es un espacio vectorial real, pues al multiplicar un elementode ME por un escalar real no está garantizado que el resultado permanezca dentrode ME. Si el escalar es por ejemplo el número real 1.25, el resultado ya no es unamatriz con términos enteros.Por similar razón tampoco es un espacio vectorial complejo. 7. El conjunto C de los números complejos se puede considerar como un espacio vectorial real. En efecto, se pueden sumar dos números complejos obteniéndose otro número complejo; y se puede multiplicar un complejo por un escalar real, obteniéndose otro complejo. Es decir, • Suma: , que es otro número complejo.

5. • Producto por un escalar real: que es otro número complejo.La suma y el producto por un escalar cumplen todas las propiedades requeridas.En este caso el vector 0es el número complejo cero, 0+0i.Nótese que aquí los complejos funcionan como vectores (elementos del espaciovectorial C) y los reales como escalares.Observar además que, en este contexto, el conjunto de los números complejos secomporta igual que el espacio vectorial ℜ2, identificando el número complejo a+bicon el vector (a,b).Este es el motivo por el cual se suele representar el plano complejo como si fueraℜ2, con la parte real en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje deordenadas. 8. El conjunto de las funciones continuas definidas en ℜ: Se pueden sumardos funciones, y se puede multiplicar una función por un escalar real. Por ejemplo, las funciones pueden sumarse yresulta otra función La función puede multiplicarse por el escalar λ y resulta lafunción Si sumamos dos funciones continuas, el resultado es otra función continua.Si multiplicamos una función continua por un escalar, el resultado es otra funcióncontinua. Las operaciones cumplen las propiedades requeridas. El vector es lafunción constante 0.Por tanto se trata de un espacio vectorial real. Hay muchos otros espacios vectoriales. Gracias a esto, las propiedades que encontremos para espacios vectoriales en general, las podemos aplicar a matrices, polinomios, funciones. 2. SUBESPACIOS VECTORIALES :Dado un espacio vectorial V, podemos considerar una parte S de él que funcione como unespacio vectorial “más pequeño”, incluido en V.Como V es un espacio vectorial, posee unas operaciones (suma, producto por un escalar)que en particular se pueden efectuar en S. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, suresultado quede dentro de S.SUBESPACIO.DEFINICIÓN:

6. Dado un espacio vectorial V, se dice que un subconjunto S de V es un subespaciovectorial si contiene al vector , y si al efectuar las operaciones de suma y producto porescalar entre vectores de S, el resultado permanece en S.(Se puede decir que S es “cerrado” para las operaciones suma y producto por escalar.)Es decir: • ∈S • Si v, w ∈ S entonces v + w ∈ S. • Si v ∈ S y λ es un escalar, entonces λv ∈ S.Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc.puesto que sabemos que se cumplen en V, y por tanto también en S (se dice que S“hereda” las propiedades de las operaciones en V).Por supuesto si para V utilizamos escalares reales, también para S; si para V utilizamoscomplejos, también para S.EJEMPLOS DE SUBESPACIOS.1) La recta x=y es un subespacio de ℜ2. Está formado por los vectores de la forma(a,a). Contiene al vector (0,0).Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:• Suma que también es un elemento de la recta.• Producto por un escalar que también es un elemento de larecta.2) El plano XY es un subespacio de ℜ3. Está formado por los vectores de la forma (x, y,0). Contiene al vector (0, 0,0).Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:• Suma: que también es un elemento del plano.• Producto por un escalar: que también es un elemento delplano.Podemos decir que este plano “es como ℜ2 “pero incluido en ℜ3.3)¿Es un subespacio de ℜ2 el conjunto de los vectores de la forma (a, 1)?No, puesto que no contiene al (0,0). O también: porque no se puede sumar dentro de esteconjunto, por ejemplo que no pertenece al conjunto.4) En el espacio P2 = {polinomios de grado ≤ 2}, el conjunto de los polinomios de grado ≤1forma un subespacio. En efecto, contiene al polinomio cero, y podemos sumar ymultiplicar por un escalar sin salir del conjunto:• Suma que también es un polinomio degrado ≤1.• Producto por escalar que también es un polinomio de grado≤1.

7. 5) En M2= {matrices 2x2}, el conjunto de matrices simétricas es un subespacioque contiene a la matris nula, y es cerrado para las operaciones:

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