Ayudantia de microeconomía

Ayudantía 1

El error cuadrático medio (“mean squared error”) es una medida de precisión del estimador. Para un estimador  el error cuadrático medio se define por[pic 1]

[pic 2]

Con las propiedades de E (valor esperado), se puede mostrar que . De esta forma cuando  es insesgado, ocurre que .  [pic 3][pic 4][pic 5]

1. La lectura de voltaje dada por un voltímetro conectado a un circuito eléctrico es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo [pic 6], siendo [pic 7] el verdadero valor, desconocido, del voltaje. Sea [pic 8] una muestra de lecturas de dicho voltímetro.

1. Demostrar que la media muestral [pic 9] es un estimador sesgado de [pic 10] y calcular el sesgo.
2. Calcular el error cuadrático medio de [pic 11].
3. Obtener, a partir de [pic 12] un estimador insesgado de [pic 13].

1. Sea  [pic 14]una muestra aleatoria de tamaño n.

1. Demuestre que [pic 15] es un estimador sesgado de [pic 16].
2. Determine la magnitud del sesgo en este estimador.
3. ¿Qué sucede con el sesgo a medida que aumenta el tamaño n de la muestra?. Argumente.

1. La variable aleatoria X1 tiene una distribución N(μ,σ2) y la variable X2, independiente de la anterior, tiene una distribución N(2μ,3σ2). Se toma una muestra pequeña de tamaño n1 de la primera variable y otra de tamaño n2 de la segunda. Para estimar el valor del parámetro μ se utiliza el estimador [pic 17] donde a y b representan constantes.

1. ¿Qué condición deben cumplir los valores de a y b para que el estimador de media sea insesgado?
2. Determine a y b para que además el estimador presentado anteriormente sea el de varianza mínima.

1. El coseno del ángulo con que se emiten los electrones en un proceso radiactivo es una variable aleatoria X con función de densidad

[pic 18]            para  [pic 19]

Consideremos una muestra aleatoria simple [pic 20] de dicha variable.

1. Obtener el estimador de θ por el método de los momentos.
2. Calcular la varianza de este estimador.

1. El tiempo de vida de ciertos artículos electrónicos, que se distribuye exponencial desfasada, es de por lo menos θ  días, donde θ  ≥ 0 es desconocido. La pdf de una exponencial desfasada viene dada por:

[pic 21]

1. Obtenga por el método de los momentos estimadores para los parámetros  y .[pic 22][pic 23]
2. Demuestre, con sólidos argumentos matemáticos, que el MLE de θ  es [pic 24]. Además calcule el MLE de λ.
3. ¿Es [pic 25] un estimador insesgado? Justifique matemáticamente e intuitivamente.

1. En una piscifactoría hay una proporción desconocida de peces de una cierta especie A. Para obtener información sobre dicha proporción, vamos a ir sacando peces al azar. Tres personas realizan, independientemente una tras otra, el proceso de sacar peces al azar hasta encontrarse con el primero del tipo A: La primera persona lo obtiene en la décima extracción, la segunda persona lo obtiene en la decimoquinta y la tercera en la decimoctava extracción. Escribir la función de verosimilitud y obtener el estimador de máxima verosimilitud de la proporción p.

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