Bases En Rn

BASES ORTONORMALES Y PROYECCIONES EN

En se vio que n vectores linealmente independientes constituyen una base. La base más simple es la base canónica E = {e1, e2, . . . , en}. Estos vectores tienen 2 propiedades:

i. ei ∙ ej = 0 si i≠j

ii. ei ∙ ej = 1

DEFINICIÓN 1 Conjunto ortonormal en

Se dice que un conjunto de vectores S = {u1, u2, . . . ,uk} es un conjunto ortonormal si

ui ∙ uj = 0 si i≠j (1)

ui ∙ uj = 1 (2)

Si sólo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.

DEFINICIÓN 2 Longitud o norma de un vector

Si v , entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, está dada por

TEOREMA 1

Si S = {v1, v2, . . . ,vk} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

Demostración:

Suponga que c1v1 + c2v2 + . . . + ckvk = 0. Entonces para cualquier i = 1, 2, . . ., k

0 = 0∙vi = (c1v1 + c2v2 + . . . + civi + . . . + ckvk)∙vi

=c1(v1∙vi) + c2(v2∙vi) + . . . + ci(vi∙vi) + . . . + ck(vk∙vi)

=c10 + c20 + . . . ci|vi|2 + . . . ck0 = ci|vi|2

Como vi ≠ 0 por hipótesis, |vi|2 > 0, y se tiene ci=0. Esto es cierto para i = 1, 2, . . ., k, lo que completa la prueba.

TEOREMA 2

Sea H un subespacio de dimensión m de . Entonces H tiene una base ortonormal.

DEFINICIÓN 3 Matriz ortogonal

Una matriz se llama ortogonal si es invertible y

TEOREMA 3

La matriz es ortogonal si y sólo si las columnas de forman una base ortonormal para .

DEFINICIÓN 4 Proyección ortogonal

Sea H un subespacio de con base ortonormal {u1, u2, . . . ,uk} Si v , entonces la proyección ortogonal de v sobre H denotada por proyH v, está dada por

proyH v = (v∙u1)u1 + (v∙u2)u2 + . . . + (v∙uk)uk

Nota: proyH v

TEOREMA 4

Sea B = {u1, u2, . . . ,un} una base ortonormal para y sea v . Entonces

v = (v∙u1)u1 + (v∙u2)u2 + . . . + (v∙un)un

Esto es, v = proy v.

TEOREMA 5

Sea H un subespacio de , suponga que H tiene dos bases ortonormales, {u1, u2, . . . ,uk} y

{w1, w2, . . . ,wn}. Sea v un vector en . Entonces

(v∙u1)u1 + (v∙u2)u2 + . . . + (v∙uk)uk = (v∙w1)w1 + (v∙w2)w2 + . . . + (v∙wk)wk

DEFINICIÓN 5 Complemento ortogonal

Sea S un subespacio de . El complemento ortogonal de S, está dado por

={ x : x∙s = 0 }

TEOREMA 6

Si S es un subespacio de , entonces

i. es un subespacio de

ii. S = {0}

iii. dim = n – dim S

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