Cálculo integral. Cálculo de áreas e integrales dobles
Enviado por jos12311 • 4 de Febrero de 2025 • Ensayo • 2.852 Palabras (12 Páginas) • 25 Visitas
Instituto Tecnológico Superior de Coatzacoalcos[pic 1][pic 2]
Departamento de Ingeniería en Animación
Digital y Efectos visuales
INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
Docente:
M.C.I.E. Janeth Jiménez Gómez
Fecha: 13 de diciembre del 2024
Coatzacoalcos, Veracruz
Introducción
El cálculo integral no se limita a problemas básicos como el área bajo una curva, sino que se extiende a dimensiones superiores para abordar situaciones complejas que enfrentamos en la física, la ingeniería y otras ciencias. Al estudiar integrales dobles y triples, podemos calcular áreas, volúmenes y flujos en distintos sistemas de coordenadas, desde los rectangulares hasta los polares, cilíndricos o esféricos.
Por ejemplo , cómo calculamos el volumen de un sólido irregular o el flujo de un campo vectorial a través de una superficie? Estos problemas son esenciales en aplicaciones como modelar el movimiento de fluidos, entender fenómenos electromagnéticos o incluso analizar estructuras arquitectónicas. A través de las integrales iteradas, aprendemos a descomponer problemas complejos en cálculos más manejables.
Además, los conceptos de divergencia y rotacional, junto con teoremas como el de gaus, nos ofrecen interpretaciones geométricas y físicas que son esenciales para comprender cómo los campos vectoriales interactúan en el espacio. Este estudio nos permite conectar la teoría matemática con aplicaciones prácticas, como calcular el trabajo realizado por una fuerza en un sistema o determinar la cantidad de flujo que atraviesa una superficie.
En definitiva, estos temas nos proporcionan herramientas matemáticas poderosas para analizar y resolver problemas que van más allá de los límites bidimensionales, mostrándonos cómo las matemáticas son clave para entender y modelar el mundo que nos rodea.
5.1 Cálculo de áreas e integrales dobles.
Concluimos nuestro estudio del cálculo de funciones de múltiples variables con las definiciones y aplicaciones de integrales definidas en dos y tres dimensiones. Estas integrales se llaman de modo más común como la integral doble y la integral triple, respectivamente. También se estudia la integral de línea (Zill, D. G. (2011).
La integral doble
Recordamos que la definición de la integral definida de una función de una sola variable está dada por el límite de una suma:
[pic 3]
Se le pide revisar los pasos que llevan a esta definición. Los pasos preliminares análogos que conducen al concepto de integral definida bidimensional, conocidos simplemente como integral doble de una función de dos variables.[pic 4]
se dan a continuación:
Sea una función definida en una región cerrada y acotada R del plano xy. Considere los siguientes cuatro pasos: [pic 5]
Por medio de una retícula de líneas verticales y horizontales paralelas a los ejes de coordenadas, forme una partición de en n subregiones rectangulares Rk de áreas que estén por completo sobre . Son los rectángulos que se muestran en claro en la figura de abajo.[pic 6][pic 7][pic 8]
[pic 9]
5.2 Integrales iteradas
De manera similar al proceso de la diferenciación parcial podemos definir la integración parcial. El concepto de la integración parcial es la clave para un método práctico de evaluación de una integral doble. Puesto que estaremos utilizando la integración indefinida y la definida, le recomendamos ampliamente un repaso del cálculo integral.
Integración parcial
Si es un función tal que su derivada parcial con respeto a y es una función f, esto es entonces la integral parcial de con respecto a es:[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]
[pic 14]
Donde la función desempeña la parte de la constante de integración, de manera similar si una función tal que entonces la integral parcial de f con respecto a [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]
[pic 19]
En otras palabras, para evaluar la integral parcial mantenemos x fija ( como si fuera una constante, en un tato que en f (x,y) dx mantenemos y fija,( Zill, D. G. (2011).[pic 20]
5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares.
Es una extensión del concepto de integral definida para calcular áreas, volúmenes o masas en regiones bidimensionales del plano cartesiano. Es adecuada para regiones rectangulares o aquellas que se pueden describir fácilmente en términos de [pic 21]
La integral doble en coordenadas rectangulares se define como:
[pic 22]
Donde:
es la región del plano en la que se realiza la integración.[pic 23]
es la función adecuada para ello.[pic 24]
El diferencial de área es simplemente y el orden de integración (primero y luego , o al revés) depende de cómo esté definida la región .[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]
5.4 Integral doble en coordenadas polares.
Supongo que R es una región acotada por las gráficas de las ecuaciones polares r = = a, = y que f es una función de y que es un continua sobre , Con el fin de definir la integral doble de sobre R, empleamos rayos y círculos concéntricos para dividir la región en una retícula de “rectángulos polares” o subregiones . Vea la FIGURA 5.5.1a) y ). El área de una subregión típica , que se muestra en la figura 5.5.1c), es la diferencia de áreas de dos sectores circulares, ( Zill, D. G. (2011):[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]
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