Integrales Dobles

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales

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Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

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Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como

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Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos

dA= dxdy

situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

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Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES

Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy, un elemento dm de masa será

dm= (x, y)dydx= (x, y)=dA

en donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A (figura 6), en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular

a) la masa

M="" (x, y)dA

b) el primer momento de la masa respecto al eje x

Mx="" y (x, y)dA

c) su primer momento respecto al eje y,

My="" x(x, y)dA

de 12 y 13 se deduce las coordenadas del centro de masa

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Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por

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