INTEGRALES DOBLES

INTEGRALES DOBLES

Vamos a ver ahora como se utiliza el método de doble integración para calcular el área o el centro de gravedad de una región A, limitada superiormente por la curva y=f2(x), inferiormente de y=f1(x), a la izquierda por la recta x=a y a la derecha por x=b. pero es de considerar aplicaciones concretas, vamos a procesar el concepto de integral doble de una función F(x,y) de dos variables x e y. Las aplicaciones físicas resultan inmediatamente eligiendo expresiones particulares para F(x,y); esto es,

F(x,y)= 1, o

F(x,y)= y,

Cuando se trate de calcular el área,

o el momento del área respecto al eje x.

La notación

"A" F(x, y)dA (1)

Ahora para designar la integral doble, extendida a la región A, de la función F(x,y). Imaginémonos la región A cubierta por una red de rectas paralelas a los ejes x e y. Estas rectas dividen al plano en pequeñas áreas rectangulares,

A=xy=yx (2)

algunas de las cuales yacen por completo en la región A, otra son exteriores y otras, finalmente, quedan atravesadas por su contorno. No tendremos pendientes las que están de A y podemos tomar o no en consideración aquellas que se hayan parcialmente dentro. Concretamente, fijemos la atención en A interiores al contorno que numeramos en cierto orden

A1, A2…….An (3)

sea (xk,yk) un punto cualquiera de Ak y formemos la suma

(4)

Si la función F(x, y) es continua en todo punto de A y si las curvas toman su contorno son continuas y tiene longitud total finita, cuando se hace más tupida, de forma que x y y tienden a cero (podemos poner y= 2x 0), el límite

(5)

Existe, y se expresa por la notación utilizada en la ecuación (1)

La integral doble (1) se puede interpretar como un volumen, al menos en el caso de que F(x, y) sea positiva. Supongamos, por ejemplo, que la región de la base de un sólido F2 cuya altura es el punto (x, y) esta dado en

z= F(x, y)

El término

F(xk, yk) Ak

Representa una aproximación razonable del volumen de aquella porción que tiene por base Ak. La suma Sn de la ecuación (2) nos da así una aproximación del volumen total del sólido, del límite (3) proporciona un volumen exacto.

La utilidad de esta concepto de integral doble seria solo aparente si tuviésemos que hallar el límite de estas sumas, (3) para dar respuesta numérica a los diversos problemas particulares que se planteen. Pero afortunadamente, existen métodos para calcular la integral doble mediante integrales sucesivas. Esto es, en la práctica, integral doble se reduce al cálculo o otra de las siguientes integrales iteradas:

"A" F(x,y) dx dy o "A" F(x,y) dy dx (6)

Que vamos a explicar a continuación. Antes de ello observemos que existen un método (que no demostraremos), el cual asegura que las integrales iteradas no son iguales entre sí y a la integral doble (1), con tal que la función sea continua en A y sobre su contorno, si este no es demasiado completa, las condiciones necesarias para ella se cumplen para los ejemplos.

Vamos a explicar ahora el significado de la notación

"A" F(x,y) dy dx

El resultado de la integral " F(x,y) dy respecto a y, (Manteniendo fijo x) y calcularla en función resultante entre los límites y=f1(x) e y=f2(x);

para integrar el resultado de a) respecto a x entre los límites x=a y x=b.

Partimos de la integral interior y realizamos integraciones sucesivas como sigue:

(7)

Considerando x como constante se hace la integración respecta a y.

Podemos adquirir ideas del significado geométrico de la ecuación (7) de manera siguiente. Imaginemos un sólido cuya base sea la región A del plano siendo

z= F(x, y) su altura en el punto (x, y) de A. [Supondremos a simplificar, que F(x, y) es positiva.] Imaginemos ahora rebanadas de sólido determinadas por planos perpendiculares al eje x en x y x+dx. Aproximadamente el volumen de cada rebanada mediante la diferencial del volumen.

dV=A(x)dx,

Siendo A(x) el área de la sección del sólido por el plano trazado por x. Esta viene dada por la f2 por la integral

donde x se considera constante, dependiendo de los límites de integración del área plana considerada. Esto es, los límites y son aquellas funciones de x que representan las curvas de contornos de A. Finalmente, se ve que la integral iterada de la ecuación (7) coincide con

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales

(8)

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

(9)

Es constante, si el área esta limitada a la izquierda por la curva x=g1(y), a la derecha por la curva x=g2(y), inferiormente por la recta y=c y superiormente por xy=d, (figura 3), Es preferible integrar primero respecto a x [que puede ir desde g1(y) a g2(y)] y después respecto a y; es decir como

(10)

Para interpretar la primera integración respecto a x, como suma de todos los elementos

dA= dxdy

situados en una faja horizontal que se extiende desde la curva x=g1(y) a izquierda hasta la curva x=g2(y) a la derecha. El cálculo de esta integral es

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

APLICACIONES FÍSICAS DE LAS INTEGRALES DOBLES

Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy, un elemento dm de masa será

dm= (x, y)dydx= (x, y)=dA (11)

en donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A (figura 6), en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular

a) la masa

M="" (x, y)dA; (12)

b) el primer momento de la masa respecto al eje x

Mx="" y (x, y)dA (13a)

c) su primer momento respecto al eje y,

My="" x(x, y)dA (13b)

de 12 y 13 se deduce las coordenadas del centro de masa

Otros momentos de importancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por

(14)

y el

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