Integrales Dobles

INTRDUCCIÓN

Ya se sabe que una de las aplicaciones de las integrales dobles es el cálculo de volúmenes. Otra aplicación geométrica es hallar áreas de superficies. En este proyecto se explorara la una aplicación física que es calcular la carga eléctrica ya que esta se considera como otro tipo de densidad se puede implementar este tipo de cálculos mediante las integrales dobles distribuida en cierta región dada o acotada para encontrar la densidad de carga en esta región.

INTEGRALES DOBLES

Para integrales simples, la región sobre la que se integra es siempre un intervalo. Pero para integrales dobles, se desea poder integrar una función f no solo sobre rectángulos, sino también sobre regiones D de forma más general, como se ilustra en la figura 1. Se supone que D es una región acotada, lo que significa que D puede ser encerrada en una región rectangular R como en la figura 2. Entonces se define una nueva función F con dominio R mediante.

f(x,y) si (x,y) está en

F(x,y)=

0 si (x,y) está en R pero no en D

Y Y

0 X 0 X

Figura 1 Figura 2

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se define la integral doble de f sobre D mediante

∬_D▒〖f(x,y)dA=∬_R▒〖F(x,y)dA 〗〗

Donde F está dada por la ecuación 1.

Si se distribuye una carga eléctrica sobre una región D y la densidad de carga (en unidades de carga por área unitaria) está dada por σ(x,y) en un punto (x,y) en D entonces la carga total Q está dada por:

Q=∬_D▒σ(x,y)dA

Se tiene una carga distribuida sobre una región triangular D de modo que la densidad de carga en (x,y) es σ(x,y)=xy, medida en coulomb por metro cuadrado (C/m^2). Determinar la carga total de la región acotada,

x+y=1, y=1, x=1

y

1 y=1 (1,1)

y=1-x

x

De la ecuación y de la figura se obtiene:

Q=∬_D▒〖σ(x,y)dA=∫_0^1▒∫_(1-x)^1▒〖xy dydx〗〗

=∫_0^1▒〖[x y^2/2]⃒(y=1)¦(y=1-x ) dx〗

=∫_0^1▒〖x/2 [1-(1-x)^2 ]dx〗

=1/2 ∫_0^1▒〖2x^2-x^3 dx〗

=1/2 [(2x^3)/3-x^4/4]= 5/24

Así la carga total es de 5/24 C.

Podemos ver que el cálculo de la densidad de carga eléctrica por medio de integrales dobles es una alternativa muy útil y fácil de realizar para este tipo de calculo.

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